Las ecuaciones e inecuaciones en un problema de la vida real se interpretan como condiciones o restricciones. Esto implica que en un problema no todo vale, sino que nos tenemos que ceñir a las condiciones con las que podemos solucionar el problema.

¿Qué es un problema de programación lineal?

Un problema de programación lineal es todo aquel problema en el que se quiere obtener el máximo o mínimo, utilizando inecuaciones.

Un ejemplo de este tipo de problemas es querer obtener el número de cajas de dos tipos que tiene que vender una tienda de cajas para obtener el máximo beneficio.

Para resolver este tipo de problemas es muy importante utilizar la lógica. Esta lógica nos dice que en el ejemplo anterior el número de cajas que vende de un tipo y de otro tiene que ser mayor que cero, ya que si no vende ni una caja es imposible que obtenga beneficio. Esto hace que en muchos casos sea muy importante añadir a las inecuaciones que tenemos que plantear otras dos:

Región factible.

Se denomina región factible a la solución que genera el sistema de inecuaciones con dos incógnitas que surge de plantear un problema de programación lineal. Esta región factible representa el conjunto de puntos que cumplen los requisitos del sistema, es decir, cumplen todas las condiciones o restricciones.

Como se puede ver en la imagen la región factible es la región del plano que surge como solución de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas.

Vértices: posibles máximos y mínimos.

Los vértices son los puntos de intersección de las inecuaciones que dan lugar a la región factible.

Para obtener los vértices es necesario hacer sistemas de ecuaciones entre las rectas que forman la región factible.

Uno de estos vértices va a ser el máximo o el mínimo que intentamos obtener.

Función objetivo.

La función objetivo es la expresión con la que obtener la magnitud que queremos que sea máxima o mínima.

Un ejemplo de una función objetivo sería la expresión matemática que se obtiene al multiplicar el precio de una silla por el número de sillas vendidas y sumarle el producto del precio de las mesas por el número de mesas. En este caso estaríamos hablando de la función objetivo que tendríamos que escribir para maximizar los ingresos de una empresa que vende sillas y mesas.

Método de resolución de problemas de programación lineal.

Para resolver un problema de programación lineal se siguen los siguientes pasos:

1. Traducimos al lenguaje algebraico las condiciones que vienen en el enunciado del problema en forma de inecuaciones.
2. Utilizando la lógica del problema, nos planteamos la posibilidad de tener que incorporar las inecuaciones ó
3. Buscamos la función objetivo con los datos del problema. Si no la encuentras es muy útil buscar que es lo que se quiere maximizar o minimizar.
4. Representamos la región factible siguiendo el método de resolución de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
5. Obtenemos los vértices de la región factible utilizando sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Es importante nombrar los vértices para no confundirlos.
6. Introducimos los valores de cada uno de los vértices en la función objetivo.
   • Si queremos el máximo, la solución es el vértice que mayor número resulte al introducirlo en la función objetivo.
   • Si queremos el mínimo, la solución es el vértice que menor número resulte al introducirlo en la función objetivo.

Ejemplo:

Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo y la elaboración de un litro de horchata 2 horas. Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de helado con la leche que tiene. Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos 10 litros entre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.

a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.

b) Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata, obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.

Solución.

Paso1. Obtener el sistema de inecuaciones.

En este ejercicio vamos a asignar la incógnita «x» a los litros de helado y la incógnita «y» a los litros de horchata.

La primera inecuación se obtiene con las horas de trabajo. Cada litro de helado supone 1 hora de trabajo y cada litro de horchata son 2 horas. Si el máximo de horas es 20, se tiene que:

La segunda inecuación se consigue con el máximo de litros de helado que se pueden hacer con la leche disponible.

La tercera y última se puede hacer con el número de litros de helado y horchata que hay que hacer como mínimo.

De esta forma el sistema de inecuaciones con las restricciones que hay expresas en el enunciado sería:

Paso 2. Añadir (si es el caso) las inecuaciones x>0 ó y>0

En este caso tenemos que añadir las dos inecuaciones porque para obtener algo de beneficio hay que preparar algo de helado y horchata pero uno de los dos puede ser cero, por lo que el sistema completo quedaría:

Paso 3. Obtener la función objetivo.

La función objetivo viene definida en el apartado b) del ejercicio. Al traducirla al lenguaje algebraico tendríamos que la función objetivo sería:

Paso 4. Representar la región factible.

Para representar la región factible se resuelve el sistema de inecuaciones del paso 2. Yo no voy a desarrollarlo paso a paso. Si tienes dudas sobre la resolución de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas tenemos unos apuntes que deberías repasar antes de empezar con este paso.

Inecuación A

x	y
20	0
10	5

Inecuación B

x	y
0	0
0	5

x	y
15	0
15	10

Inecuación C

x	y
10	0
5	5

Inecuación D

x	y
0	0
10	0

La región factible sería entonces:

Paso 5. Obtener los vértices.

Los vértices de esta región factible son las esquinas numeradas del 1 al 4 en la imagen.

Es importante numerar los vértices para no confundir los sistemas de ecuaciones que hay que resolver para obtenerlos.

Los sistemas de ecuaciones que hay que utilizar para obtener los vértices se forman cogiendo las ecuaciones de las rectas que tienen el vértice como punto en común.

Paso 6. Calcular máximos y mínimos.

Para este ejercicio se pide obtener el máximo beneficio, por lo que solo se obtendrá el máximo. Para obtener este máximo se introducen los valores de cada uno de los vértices en la función objetivo.

Vértice 1

Vértice 2

Vértice 3

Vértice 4

Tal y como se puede observar el beneficio máximo se da cuando se hace 15 litros de helado y 2’5 litros de horchata. El beneficio máximo es de 405€.

Ejercicios resueltos.

En la programación lineal hay dos tipos de ejercicios. En el primer tipo te dan directamente el sistema de inecuaciones. El segundo tipo son los problemas de programación lineal como el que hemos visto en el ejemplo.

Ejercicio 1.

Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 m³ del tipo A necesita 60 kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 m³ del tipo B necesita 50 kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 e y 60 e por cada metro cúbico de tipo B.

a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.

b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.

Ejercicio 2.

Un alcalde quiere instalar un estanque rectangular en un parque de la ciudad con las siguientes características. El estanque deberá tener al menos 2 metros de ancho y al menos 5 metros de largo. Además su largo debe ser al menos 2 veces su ancho pero no más de tres veces su ancho. Cada metro del ancho del estanque cuesta 1000 euros y cada metro de largo 500 euros. Y se cuenta con un presupuesto de 9000 euros.

a) Determínese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobre las dimensiones del estanque.

b) Si se desea que el estanque respetando esas características tenga el mayor ancho posible, determínense el largo del estanque y su coste.

Ejercicio 3.

Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 1000 euros y el de una tonelada del tipo B de 2000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo

Ejercicio 4.

Considérese la región del plano S definida por:

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Determínense los puntos en los que la función alcanza sus valores máximo y mínimo en S, indicando el valor de la función en dichos puntos.

Ejercicio 5.

Sea la región del plano definida por:

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.

b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función en la región , indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mínimo

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