Determinantes de cualquier orden. ¿Cómo los calculo?

Ya sabes cómo calcular determinantes de segundo y tercer orden pero, ¿cómo calculamos determinantes de cualquier orden? Pues aquí te lo explico. ¡Vamos a por ello!

Método de resolución por adjuntos de determinantes de cualquier orden.

Para resolver un determinante de orden cualquiera podemos aplicar el desarrollo de este por adjuntos. Para ello vamos a desarrollar un determinante de 4×4 y otro de 5×5.

Cuando resolvemos un determinante de cualquier orden seguimos los siguientes pasos:

Seleccionamos la fila o columna con mayor número de ceros.
Obtenemos los adjuntos de todos os elementos de la fila que hemos seleccionado en el paso anterior.
El resultado del determinante es la suma de los elementos de la fila o columna del primer paso por los adjuntos que hemos obtenido en el paso anterior.

CASO 4×4.

Supongamos que tenemos un determinante del tipo:

$\left|\begin{matrix}1&1&0&-1\\2&1&0&-2\\1&0&-1&0\\2&-2&2&-2\end{matrix}\right|$

Primero seleccionamos la fila o columna con mayor número de ceros. En este caso serían o la fila 3 o la columna 3. Cómo coinciden una fila y una columna vamos a desarrollarlo primero por la fila y luego por la columna.

Desarrollo por fila tres.

Tras seleccionar la fila por la que vamos a desarrollar el determinante obtenemos los adjuntos de los elementos de esta fila.

$A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & -2 \end{matrix} \right| = 2$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \end{matrix} \right| = 0$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 &-2\end{matrix}\right|=0$

$A_{34}=(-1)^{3+4}\cdot\left|\begin{matrix}1&1&0\\2&1&0\\2&-2&2\end{matrix}\right| = 2$

Una vez que tenemos los adjuntos los sumamos multiplicando cada adjunto por su elemento:

$\left|\begin{matrix}1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & -2 \end{matrix} \right| = 1\cdot A_{31}+0\cdot A_{32}+(-1)\cdot A_{33}+0\cdot A_{34}=2$

Como los elementos de los adjuntos $A_{32}$ y $A_{33}$ son ceros, por lo que no es necesario calcularlos ya que al multiplicarlos por su elemento los van a anular.

Desarrollo por columna tres.

Tras seleccionar la fila por la que vamos a desarrollar el determinante obtenemos los adjuntos de los elementos de esta fila.

$A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{matrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \end{matrix} \right| = 6$

$A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \end{matrix} \right| = -4$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 &-2\end{matrix}\right|= 0$

$A_{43}=(-1)^{4+3}\cdot\left|\begin{matrix}1&1&-1\\2&1&-2\\1&0&0\end{matrix}\right| = 1$

Una vez que tenemos los adjuntos los sumamos multiplicando cada adjunto por su elemento:

$\left|\begin{matrix}1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & -2 \end{matrix} \right| = 0\cdot A_{13}+0\cdot A_{23}+(-1)\cdot A_{33}+2\cdot A_{43}= 2$

Como los elementos de los adjuntos $A_{13}$ y $A_{23}$ son ceros, por lo que no es necesario calcularlos ya que al multiplicarlos por su elemento los van a anular.

CASO 5×5.

Supongamos que tenemos un determinante del tipo:

$\left|\begin{matrix}3&1&1&-1&2\\1&0&0&-1&2\\2&-1&0&1&3\\0&1&0&-2&-1\\-2&-2&-2&1&2\end{matrix}\right|$

Primero seleccionamos la fila o columna con mayor número de ceros. En este caso sería la columna 3, así que pasemos a desarrollar solo los adjuntos $A_{13}$ y $A_{53}$ , ya que los demás se anulan al multiplicarlos por su elemento:

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot\left|\begin{matrix}1&0&-1&2\\2&-1&1&3\\0&1&-2&-1\\-2&-2&1&2\end{matrix}\right|$

Desarrollo el determinante por el mismo método a partir de la columna 2.

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot\left|\begin{matrix}1&0&-1&2\\2&-1&1&3\\0&1&-2&-1\\-2&-2&1&2\end{matrix}\right|=$

$=-1\cdot\left|\begin{matrix}1&-1&2\\0&-2&-1\\-2&1&2\end{matrix}\right|-1\cdot\left|\begin{matrix}1&-1&2\\2&1&3\\-2&1&2\end{matrix}\right|-2\cdot \left|\begin{matrix}1&-1&2\\2&1&3\\0&-2&-1\end{matrix}\right|=$

$=-1\cdot(-13)-1\cdot 17-2\cdot(-5)=6$

$\text{ }$

Desarrollo el determinante por el mismo método a partir de la columna 2.

$A_{53}=(-1)^{5+3}\cdot\left|\begin{matrix}3&1&-1&2\\1&0&-1&2\\2&-1&1&3\\0&1&-2&-1\end{matrix}\right|$

$=-1\cdot\left|\begin{matrix}1&-1&2\\2&1&3\\0&-2&-1\end{matrix}\right|+1\cdot\left|\begin{matrix}3&-1&2\\1&-1&2\\0&-2&-1\end{matrix}\right|+1\cdot \left|\begin{matrix}3&-1&2\\1&-1&2\\2&1&3\end{matrix}\right|=$

$=-1\cdot(-5)+1\cdot 10+1\cdot(-10)=5$

$\text{ }$

Una vez que tenemos los adjuntos los multiplicamos por los elementos para obtener el valor del determinante:

$\left|\begin{matrix}3&1&1&-1&2\\1&0&0&-1&2\\2&-1&0&1&3\\0&1&0&-2&-1\\-2&-2&-2&1&2\end{matrix}\right|=1\cdot A_{13}-2\cdot A_{53}=1\cdot 6-2\cdot 5=-4$

A parte del método por adjuntos existen otros métodos que utilizan las propiedades de los determinantes para calcular estos determinantes. Uno de ellos es el método de eliminación gaussiana.

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