Ecuaciones matriciales. ¿Cómo las resuelvo?

Dentro del mundo de las matrices y los determinantes también existen las ecuaciones matriciales. Voy a intentar explicarte qué son y cómo podemos resolverlas.

¿Qué son las ecuaciones matriciales?

Una ecuación matricial es una ecuación en la que se trabaja con matrices. No tiene mucho misterio. Se pueden representar de dos formas:

Te pueden dar las matrices y luego ponerte la ecuación, como en el enunciado de abajo.

Sean las matrices:

$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&-1&0\\3&1&-2\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}-1&3&1\\0&-2&1\\1&1&3\end{pmatrix}$

Obtenga el valor de $X$ que satisface la ecuación $AX=B$

Te pueden dar las matrices directamente.

$\begin{pmatrix}1&1&2\\2&-1&0\\3&1&-2\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}-1&3&1\\0&-2&1\\1&1&3\end{pmatrix}$

¿Y si quiero despejar la X?¿Cómo lo hago?

Las ecuaciones matriciales las tienes que tratar como si fueran ecuaciones normales pero con tres diferencias. La primera es que el uno en matrices es la matriz identidad $I$ . La segunda que el producto no es conmutativo (que $AB\neq BA$ ) y, por último, que la división en matrices no existe como tal, pero si que existe la inversa.

Vamos a despejar una sencilla para ir abriendo boca.

$AX=B$

En este caso tienes que «pasar dividiendo» la matriz $A$ , pero no existe la división dentro del mundo de las matrices. Lo que se hace en su lugar es multiplicar a los dos lados de la ecuación por la inversa de esta matriz. Además tienes que multiplicar las dos por la izquierda, ya que el producto de matrices no es conmutativo. Se quedaría así:

$A^{-1}AX=A^{-1}B$

Como has visto la matriz $A^{-1}$ esta a la izquierda en los dos lados de la ecuación.

Antes vamos a recordar la definición de matriz inversa $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ . Como $I$ es el 1 en matrices la $X$ ya estaría despejada. Esto provoca que la ecuación se quede así despejada:

$I\cdot X=A^{-1}\cdot B\rightarrow X=A^{-1}B$

Vamos a probar con otro tipo:

$AX+BX=AB$

Cuando tenemos una ecuación de este estilo tendrías que sumar $A$ y $B$ sacando factor común la $X$ .

$(A+B)X=AB$

Una vez que tienes sacado el factor común tendríamos que multiplicar los dos lados de la ecuación por la matriz inversa de la suma $A+B$ para «pasarlo al otro lado» y despejar la matriz incógnita.

$(A+B)^{-1} (A+B)X=(A+B)^{-1} AB \rightarrow X=(A+B)^{-1} AB$

Venga, resolvamos el último tipo:

$3X+AX=B$

Con esta tienes que tener un cuidado especial, ya que cuando sacas el factor común para sumar tenemos lo tenemos que hacer «añadiendo» la matriz identidad $I$ así:

$(3I+A)X=B$

Esto se debe a que si sacáramos solo el 3 como factor común no tendríamos forma de sumar un número y una matriz. Se pone la matriz identidad porque es el uno en las matrices, es decir, es como cuando tenemos que sacar factor común en $x^2+x$ que ponemos $x(x+1)$ .

Una vez que has sacado factor común correctamente tienes que despejar la matriz $X$ como en el resto.

$(3I+A)^{-1}(3I+A)X=(3I+A)^{-1}B\rightarrow X=(3I+A)^{-1}B$

Resolución de ecuaciones matriciales.

Existen dos métodos para resolver ecuaciones matriciales. Vamos a entenderlos.

Resolución con matrices de forma directa.

La ecuaciones matriciales podemos resolverlas simplemente poniendo una matriz con incógnitas y operando para obtener una ecuación o un sistema de ecuaciones con el que obtener el valor de estas incógnitas. Este método es recomendable para ecuaciones con una matriz $X$ cuadrada de orden 2.

Como siempre esto se explica mejor con un ejemplo.

Dada las matrices

$A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}-2&0\\0&1\end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix}-2&2\\1&3 \end{pmatrix}$

resuelve la siguiente ecuación matricial:

$AX=B+C$

Lo primero que tienes que hacer es calcular la dimensión de la matriz $X$ . Para esto tienes que escribir la ecuación matricial pero solo con las dimensiones.

$\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}_{2\times 2}\cdot X_{n\times m}=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}_{2\times2}+\begin{pmatrix}-2&2\\1&3\end{pmatrix}_{2\times2}$

Para que la matriz $X$ se pueda multiplicar por la matriz $A$ tiene que tener dos filas, porque el número de columnas de la primera matriz tiene que ser el mismo que el número de columnas de la segunda para que se puedan multiplicar dos matrices. Esto supone que la matriz $X$ tiene que tener dimensión $2\times m$ .

Si sumamos las matrices $B$ y $C$ se obtiene otra matriz de dimensión $2\times2$ , por lo que la matriz $X$ tiene que tener dimensión $2\times 2$ .

Una vez que sabemos la dimensión de la matriz $X$ vamos a crear una matriz de dimensión $2\times2$ con incógnitas de esta forma:

$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

Después la sustituyes en la ecuación y operas.

$\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a-c&b-d\\2a&2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\1&4\end{pmatrix}$

Como puedes ver en la ecuación que nos queda, se tienen que cumplir estas ecuaciones que forman dos sistemas:

$\left\{\begin{matrix}a-c=4\\2a=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}b-d=2\\2b=4\end{matrix}\right.$

Resolviéndolos te quedaría:

$a=\dfrac{1}{2}$

$c=-\dfrac{7}{2}$

$b=2$

$d=0$

Una vez que has resuelto el sistema de ecuaciones ya podemos escribir nuestra matriz solución y habremos terminado de resolver nuestra ecuación matricial.

$X=\begin{pmatrix}1/2&2\\-7/2&0\end{pmatrix}$

Resolución con matriz inversa.

Utilizar este método es muy simple, pero solo se puede realizar cuando tenemos matrices regulares (que tienen inversa) multiplicando a la matriz incógnita, ya que si no no podríamos despejar la ecuación. Para utilizar este método es tan fácil como despejar y operar.

Veamos un ejemplo.

Resuelva la siguiente ecuación matricial $XA-3B=4C$ en donde

$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&-1&0\\2&1&-1\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}1&-3&0\\-5&2&1\\2&4&-1\end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix}-2&2&3\\1&0&-4\\2&3&-5\end{pmatrix}$

El primer paso es despejar la ecuación.

$XA=4C+3B\rightarrow XAA^{-1}=(4C+3B)A^{-1}\rightarrow X=(4C+3B)A^{-1}$

Una vez que tenemos la ecuación despejada obtén las matrices que necesitas. $B$ y $C$ las tienes pero $A^{-1}$ no, por lo que tienes que calcularla.

$\left|A\right|=1$

$adj(A)=\begin{pmatrix}1&1&3\\-1&-2&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}$

$(adj(A))^t=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}$

Ahora que tienes todas las matrices, opera y así sacas la matriz $X$ .

$X=\left[4\cdot\begin{pmatrix}-2&2&3\\1&0&-4\\2&3&-5\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1&-3&0\\-5&2&1\\2&4&-1\end{pmatrix}\right]\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}$

$X=\left[\begin{pmatrix}-8&8&12\\4&0&-16\\8&12&-20\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&-9&0\\-15&6&3\\6&12&-3\end{pmatrix}\right]\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}$