Matriz inversa. Cálculo por determinantes.

A la hora de hallar la matriz inversa, los cálculos necesarios para obtenerla tanto por el método de Gauss como por el método por definición, en matrices de orden 3 y 4, son muy laboriosos, por lo que se utiliza el método por determinantes como forma principal de obtener inversas de matrices de estos órdenes.

¿Cómo obtengo la matriz inversa con determinantes?

Para obtener la matriz inversa por determinantes seguimos la siguiente fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{\left|A\right|}\left(adj(A)\right)^t$

Con esta fórmula podemos deducir que si el determinante de una matriz es nulo no existe su inversa, ya que tendríamos que multiplicar por $1/0$ , que no existe. Por esto si en algún momento nos preguntaran si una matriz tiene inversa valdría con que cumpliera dos requisitos:

La matriz tiene que ser cuadrada.
El determinante de esta matriz no puede ser cero.

La fórmula es bastante metódica y hay que hacer varios ejercicios para que se nos queden claros los pasos a seguir. Estos pasos son:

Hallar el determinante de $A$ .
Obtener la matriz adjunta $adj(A)$ .
Trasponer la matriz adjunta $(adj(A))^t$ .
Dividir cada uno de los elementos de la matriz adjunta traspuesta por el valor del determinante.

Ejemplo

Obtengamos la inversa de:

$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&-1&0\\2&1&-1\end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de la matriz:

$\left|A\right|=\left|\begin{matrix}2&-1&0\\1&-1&0\\2&1&-1\end{matrix}\right|=2+0+0-0-0-1=1$

Obtenemos la matriz adjunta:

$adj(A)=\begin{pmatrix}1&1&3\\-1&-2&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Trasponemos la matriz adjunta:

$(adj(A))^t=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}$

Dividimos todos los elementos de la matriz adjunta traspuesta por el determinante de A:

$(adj(A))^t=\begin{pmatrix}1/1&-1/1&0/1\\1/1&-2/1&0/1\\3/1&-4/1&-1/1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&-2&0\\3&-4&-1\end{pmatrix}=A^{-1}$

Un ejercicio muy habitual

Dada la matriz:

$A=\begin{pmatrix}1&-1&k\\k&-2&2\\2&1&1\end{pmatrix}$

Obtenga los valores de k para los que la matriz es inversible.

Solución

Resolver este problema es tan simple como calcular el determinante, igualar a cero y obtener el valor de k. El determinante se iguala a cero porque para que la matriz tenga inversa, su determinante no puede ser cero, por lo que si igualamos a cero el determinante, sacamos los valores de k que hacen que el determinante sea cero.

$\left|A\right|=\left|\begin{matrix}1&-1&k\\k&-2&2\\2&1&1\end{matrix}\right|=-2+k^2-4+4k+k-2=k^2+5k-8=0$