Método de Gauss para resolver y discutir un sistema.

El método de Gauss es la herramienta matemática más completa en el álgebra. Con este método puedes discutir y resolver un sistema a la vez.

Discutir un sistema con el método de Gauss.

Resolver un sistema compatible determinado con Gauss.

Resolver un sistema compatible indeterminado con Gauss.

Tipos de sistemas

Teorema de Rouché Frobenius

Regla de Cramer

Discusión de un sistema con el método de Gauss.

El método de Gauss puede utilizarse para discutir sistemas. Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado. Para operar las ecuaciones es mucho más cómodo utilizar la matriz A* del sistema.

Un sistema se considera escalonado cuando es de este tipo:

$\left\{\begin{matrix}ax&+by&+cz&=&d\\&b'y&+c'z&=&d'\\&&c''z&=&d''\end{matrix}\right.$

Este sistema tiene una matriz A* tal que así:

$A^*=\begin{pmatrix}a&b&c&\vdots&d\\0&b'&c'&\vdots&d'\\0&0&c''&\vdots&d''\end{pmatrix}$

Cómo obtener sistemas de ecuaciones lineales escalonados.

Esto significa que el método de Gauss tiene como primer objetivo transformar la matriz A* del sistema de ecuaciones en una matriz triangular inferior, es decir, que por debajo de su diagonal principal todo sean ceros.

Para conseguir esto se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Colocar las ecuaciones de la mejor forma posible. Lo ideal es tener un uno como coeficiente de la x de la primera ecuación, ya que los siguientes pasos son más sencillos si se hace esto.

Paso 2. Obtener la matriz A* del sistema.

Paso 3. Hacer ceros en la primera columna. Para conseguir que los elementos de la primera columna sean cero se busca una combinación lineal de la primera fila con la fila en la que se quiere hacer el cero.

Paso 4. Repetir el paso 3 buscando ceros en la segunda columna.

Paso 5. Repetir el proceso hasta obtener la matriz triangular.

Después de conseguir escalonar el sistema, se discute el sistema.

Ejemplo de como escalonar un sistema.

Escalona el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix}x&+3y&-z&=&2\\2x&+2y&-z&=&0\\-x&+y&-z&=&-2\end{matrix}\right.$

Solución

Paso 1. En este caso como el coeficiente de la x de la primera ecuación ya tiene un uno no hace falta que cambiemos nada.

Paso 2.

$A^*=\begin{pmatrix}1&3&-1&\vdots&2\\2&2&-1&\vdots&0\\-1&1&-1&\vdots&-2\end{pmatrix}$

Paso 3.

$\begin{pmatrix}1&3&-1&\vdots&2\\2&2&-1&\vdots&0\\-1&1&-1&\vdots&-2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2-2F_1\\F_3=F_3+F_1\end{matrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&3&-1&\vdots&2\\0&-4&1&\vdots&-4\\0&4&-2&\vdots&0\end{pmatrix}$

Paso 4.

$\begin{pmatrix}1&3&-1&\vdots&2\\0&-4&1&\vdots&-4\\0&4&-2&\vdots&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3+F_2\end{matrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&3&-1&\vdots&2\\0&-4&1&\vdots&-4\\0&0&-1&\vdots&-4\end{pmatrix}$

En este caso no es necesario repetir el proceso para más columnas dado que ya estaría escalonado el sistema.

$\left\{\begin{matrix}x&+3y&-z&=&2\\&-4y&+z&=&-4\\&&-z&=&-4\end{matrix}\right.$

Discusión de sistemas sin parámetros.

Las opciones que existen una vez que se escalona un sistema de ecuaciones lineales son las siguientes:

$mz=n$ , donde z es la incógnita de la última ecuación, mientras que m es un número real menos el cero y n es un número real cualquiera que si puede ser cero. Este caso corresponde a un sistema compatible determinado, ya que el resultado de z será el obtenido al despejar la incógnita.
$0z=0$ , donde z es la incógnita de la última ecuación. Este caso corresponde a un sistema compatible indeterminado, ya que cualquier valor que se sustituya por z sirve para cumplir la ecuación.
$0z=n$ , donde z es la incógnita de la última ecuación, mientras que n es un número real distinto de cero. Este caso corresponde a un sistema incompatible, ya que ningún número que se sustituya por z sirve para cumplir la ecuación.

Ejemplo discusión de un sistema sin parámetros.

Discuta este sistema de ecuaciones lineales:

$\left\{\begin{matrix}x&-2y&+z&=&1\\x&-2y&-z&=&2\\2x&-4y&&=&3\end{matrix}\right.$

Solución

El primer objetivo es escalonar el sistema obteniendo su matriz ampliada.

$A^*=\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&1\\1&-2&-1&\vdots&2\\2&-4&0&\vdots&3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&1\\1&-2&-1&\vdots&2\\2&-4&0&\vdots&3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2-F_1\\F_3=F_3-2F_1\end{matrix}=\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&1\\0&0&-2&\vdots&1\\0&0&-2&\vdots&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&1\\0&0&-2&\vdots&1\\0&0&-2&\vdots&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3-F_2\end{matrix}=\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&1\\0&0&-2&\vdots&1\\0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}$

El sistema es compatible indeterminado.

Discusión de sistemas con parámetros.

Cuando se tiene uno o más parámetros se discute el sistema en función de estos parámetros atendiendo a las pautas que ya teníamos para los sistemas sin parámetros.

$mz=n$ , donde z es la incógnita de la última ecuación, mientras que m es un número real menos el cero y n es un número real cualquiera que si puede ser cero. Este caso corresponde a un sistema compatible determinado, ya que el resultado de z será el obtenido al despejar la incógnita.
$0z=0$ , donde z es la incógnita de la última ecuación. Este caso corresponde a un sistema compatible indeterminado, ya que cualquier valor que se sustituya por z sirve para cumplir la ecuación.
$0z=n$ , donde z es la incógnita de la última ecuación, mientras que n es un número real distinto de cero. Este caso corresponde a un sistema incompatible, ya que ningún número que se sustituya por z sirve para cumplir la ecuación.

Ejemplo discusión de un sistema con un parámetro.

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a.

$\left\{\begin{matrix}3x&-2y&+z&=&1\\x&-y&+z&=&2\\2x&-y&-az&=&3\end{matrix}\right.$

Solución

Primero se colocan las ecuaciones. En este caso se intercambian La primera ecuación y la segunda ecuación.

$\left\{\begin{matrix}x&-y&+z&=&2\\3x&-2y&+z&=&1\\2x&-y&-az&=&3\end{matrix}\right.$

Tras esto se obtiene A*.

$A^*=\begin{pmatrix}1&-1&1&\vdots&2\\3&-2&1&\vdots&1\\2&-1&-a&\vdots&3\end{pmatrix}$

Una vez obtenida A* se escalona el sistema.

$\begin{pmatrix}1&-1&1&\vdots&2\\3&-2&1&\vdots&1\\2&-1&-a&\vdots&3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2-3F_1\\F_3=F_3-2F_1\end{matrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1&\vdots&2\\0&1&-2&\vdots&-5\\0&1&-2-a&\vdots&-1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&-1&1&\vdots&2\\0&1&-2&\vdots&-5\\0&1&-2-a&\vdots&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3-F_2\end{matrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1&\vdots&2\\0&1&-2&\vdots&-5\\0&0&-a&\vdots&-1\end{pmatrix}$

El sistema escalonado quedaría de esta forma:

$\left\{\begin{matrix}x&-y&+z&=&2\\&y&-2z&=&-5\\&&-az&=&-1\end{matrix}\right.$

Observando la última ecuación se puede ver como solo existen dos opciones:

Si $a=0$ el sistema es incompatible, dado que generaría una tercera ecuación del tipo $0z=n$ .
Si $a\neq0$ el sistema es compatible determinado, ya que la tercera ecuación sería del tipo $mz=n$ .

Ejemplo discusión de sistemas con varios parámetros.

Discuta el siguiente sistema en función de los parámetros a y b.

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+bz&=&1\\ax&+y&+bz&=&1\\x&+ay&+z&=&0\end{matrix}\right.$

Solución

El método de Gauss es muy útil cuando se trata con varios parámetros, ya que si se discute el sistema por el teorema de Rouché Frobenius, se puede complicar muchísimo. Como en el resto de casos lo primero es escalonar el sistema. El primer paso para escalonarlo no es necesario en este ejercicio, ya que las ecuaciones ya están ordenadas. Después se obtiene la matriz A*.

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&b&\vdots&1\\a&1&b&\vdots&1\\1&a&1&\vdots&0\end{pmatrix}$

Una vez obtenida la matriz ampliada se escalona con el método de Gauss.

$\begin{pmatrix}1&1&b&\vdots&1\\a&1&b&\vdots&1\\1&a&1&\vdots&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2-aF1\\F_3=F_3-F_1\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&b&\vdots&1\\0&1-a&b-ab&\vdots&1-a\\0&a-1&1-b&\vdots&-1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1&b&\vdots&1\\0&1-a&b(1-a)&\vdots&1-a\\0&a-1&1-b&\vdots&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3+F_2\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&b&\vdots&1\\0&1-a&b(1-a)&\vdots&1-a\\0&0&1-ab&\vdots&-a\end{pmatrix}$

Una vez escalonado el sistema se pueden ver los siguientes casos:

Si $ab=1$ el sistema sería incompatible, ya que tendríamos una última ecuación del tipo $0z=n$ .
Si el sistema sería compatible determinado pero si solo se pensara en la última ecuación, ya que si se piensa en la segunda ecuación, se llega a la conclusión de que al sustiruir se anula toda la ecuación, es decir, se tiene la ecuación , lo que hace que tengamos dos casos:
- Para $ab\neq1$ y &a=1& es un sistema compatible indeterminado.
- Para $ab\neq1$ y $a\neq1$ es un sistema compatible determinado.

Resolución de un sistema compatible determinado por el método de Gauss.

Resolver un sistema utilizando el método de Gauss es relativamente sencillo una vez que se ha discutido el sistema resolverlo es muy sencillo, basta con despejar z e ir sustituyendo en las ecuaciones para obtener el valor del resto de incógnitas.

Si, por el contrario, vas a utilizar el método de Gauss solo para resolver el sistema, yo personalmente no lo recomiendo dado que es un método mucho más largo que utilizar la regla de Cramer.

Ejemplo resolución de un sistema compatible determinado.

Resuelve el sistema:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&-z&=&2\\-x&+2y&+z&=&2\\2x&-y&-z&=&-1\end{matrix}\right.$

Solución

Primero se escalona el sistema:

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&\vdots&2\\-1&2&1&\vdots&2\\2&-1&-1&\vdots&-1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1&-1&\vdots&2\\-1&2&1&\vdots&2\\2&-1&-1&\vdots&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2+F_1\\F_3=F_3-2F_1\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&-1&\vdots&2\\0&3&0&\vdots&4\\0&-3&1&\vdots&-5\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1&-1&\vdots&2\\0&3&0&\vdots&4\\0&-3&1&\vdots&-5\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3+F_2\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&-1&\vdots&2\\0&3&0&\vdots&4\\0&0&1&\vdots&-1\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}x&+y&-z&=&2\\&3y&&=&4\\&&z&=&-1\end{matrix}\right.$

Después de escalonar el sistema se puede obtener el valor de las incógnitas.

$\left\{\begin{matrix}x+4/3+1=2\\y=4/3\\z=-1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x=-1/3\\y=4/3\\z=-1\end{matrix}\right.$

Resolución de un sistema compatible indeterminado por el método de Gauss.

El método de Gauss es muy útil para resolver este tipo de sistemas, ya que se basa en una sustitución. La solución de un sistema compatible indeterminado depende siempre de, al menos, un parámetro pero puede depender de más de uno.

Ejemplo resolución de un sistema compatible indeterminado.

Resuelva el sistema:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+z&+t&=&0\\-x&+2y&+2z&-t&=&3\\&3y&+3z&&=&3\\-2x&+4y&+4z&-2t&=&6\end{matrix}\right.$

Solución

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\-1&2&2&-1&\vdots&3\\0&3&3&0&\vdots&3\\-2&4&4&-2&\vdots&6\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\-1&2&2&-1&\vdots&3\\0&3&3&0&\vdots&3\\-2&4&4&-2&\vdots&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\F_2=F_2+F_1\\F_3=F_3\\F_4=F_4+2F_1\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\0&3&3&0&\vdots&3\\0&3&3&0&\vdots&3\\0&6&6&0&\vdots&6\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\0&3&3&0&\vdots&3\\0&3&3&0&\vdots&3\\0&6&6&0&\vdots&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{matrix}\\\\F_3=F_3-F_2\\F_4=F_4-2F_2\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\0&3&3&0&\vdots&3\\0&0&0&0&\vdots&0\\0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}$