Rango de matrices. Método de Gauss.

Ya sabemos qué tipos de matrices existen, operar con matrices y obtener la inversa de una matriz. Lo último que nos queda en este tema de matrices es hallar el rango de una matriz.

Dependencia lineal.

Antes de empezar con el rango de una matriz debemos saber que es una dependencia lineal de filas o columnas en una matriz. Cuando una fila o columna de una matriz (llamemos $F_i$ o $C_i$ a las filas o columnas) depende linealmente de otras si existen números reales (llamémoslos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ …), tal que $F_i$ o $C_i$ se puedan expresar como:

$F_i=\alpha F_1+\beta F_2 +...$

$C_i=\alpha C_1+\beta C_2 +...$

Ejemplo

En el caso de la matriz A, la primera fila más la segunda dan la tercera, por lo que las tres filas son linealmente dependientes.

$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&-1&0\\3&0&2\end{pmatrix} \rightarrow F_3=F_1+F_2$

Definición de rango.

El rango de una matriz se define como el número de filas y columnas linealmente independientes.

Ejemplo

El rango de la matriz B es dos porque la primera fila es el doble de la segunda fila, por lo que son linealmente dependientes. Esto implica que si eliminamos una de esas dos filas tendremos una matriz con 2 filas linealmente independientes.

$B=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&2&4\\3&0&2\end{pmatrix} \rightarrow F_2=2F_1 \rightarrow rg(B) =2$

Método de Gauss para el cálculo del rango de matrices.

Uno de los métodos para calcular el rango de una matriz es el método de Gauss. El método de Gauss consiste en transformar la matriz en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros para ver cuántas filas se quedan con todo ceros. Los pasos a seguir son los siguientes:

Combinar la primera fila con las demás para obtener ceros en la primera columna.
Combinar la segunda fila con las demás para obtener ceros en la segunda columna.
Repetir el proceso hasta llegar a la última fila.
Determinar cuantas filas tienen algún elemento distinto de cero. El rango de la matriz será el número de filas con algún elemento distinto de cero.

Ejemplo

Obtenga el rango de la siguiente matriz.

$A=\begin{pmatrix} 1&0&-2\\2&1&2\\4&1&-2\end{pmatrix}$

Para obtener el rango buscamos una combinación lineal con la primera fila que haga que el primer elemento de las filas dos y tres salga cero.

$\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&1&2\\4&1&-2\end{pmatrix} \begin{matrix}\text{ }\\\rightarrow F_2=F_2 -2F_1\rightarrow\\ \rightarrow F_3=F_3-4F_1 \rightarrow \end{matrix} \begin{pmatrix} 1&0&-2\\0&1&6 \\ 0&1&6 \end{pmatrix}$

Repetimos el proceso con las filas dos y tres.

$\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&1&2\\4&1&-2\end{pmatrix} \begin{matrix}\text{ }\\ \text{ } \\ \rightarrow F_3=F_3-F_2 \rightarrow \end{matrix} \begin{pmatrix} 1&0&-2\\0&1&6 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$