Rango de una matriz. Cálculo por determinantes.

El concepto de rango de una matriz ya lo hemos visto en el tema de matrices, pero vamos a recordarlo:

El rango de una matriz es el número de filas o columnas de una matriz linealmente independientes.

Cálculo de determinantes de cualquier orden

Una de las propiedades de las matrices dice que si un determinante tiene filas o columnas linealmente dependientes o proporcionales el valor de este determinante es cero.

Estos dos párrafos los vas a utilizar para hallar el rango de una matriz con determinantes.

Estudio del rango de una matriz por determinantes.

Para estudiar el rango de matrices tienes que basarte en esta frase clave:

El rango de una matriz es el orden del determinante distinto de cero más grande que puedas formar.

Vamos a verlo mejor con un ejemplo:

Supongamos que tenemos que calcular el rango de esta matriz:

$A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\-1&0&-1&0\\3&-4&-1&-8\end{pmatrix}$

Para ver cuál es el rango tienes que coger el determinante más grande posible distinto de cero, por lo que empieza a buscar submatrices cuadradas de orden 3, que son las más grandes que se pueden hacer en este caso. Los determinantes de orden 3 de esta matriz son estos:

$\left|A_1\right|=\left|\begin{matrix}1&2&3\\-1&0&-1\\3&-4&-1\end{matrix}\right|$

$\left| A_3 \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\-1&-1&0\\3&-1&-8\end{matrix}\right|$

$\left|A_2\right|=\left|\begin{matrix}1&2&4\\-1&0&0\\3&-4&-8\end{matrix}\right|$

$\left|A_4\right|=\left|\begin{matrix}2&3&4\\0&-1&0\\-4&-1&-8\end{matrix}\right|$

Tras esto coge el que quieras (por ejemplo el $A_1$ ) y calcula su determinante:

$\left|A_1\right|=\left|\begin{matrix}1&2&3\\-1&0&-1\\3&-4&-1\end{matrix}\right|=0+12-6-0-2-4=0$

Cómo este determinante ha dado cero busca otro (por ejemplo el $A_4$ ) y calcúlalo.

$\left|A_4\right|=\left|\begin{matrix}2&3&4\\0&-1&0\\-4&-1&-8\end{matrix}\right|=16+0+0-16-0-0= 0$

Cómo vuelve a dar cero, tenemos que coger otro y hacerlo (por ejemplo $A_3$ ).

$\left|A_3\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\-1&-1&0\\3&-1&-8\end{matrix}\right|=8+4+0+12-0-24= 0$

Por último calculo el determinante de orden tres que falta (el $A_2$ ).

$\left|A_2\right|=\left|\begin{matrix}1&2&4\\-1&0&0\\3&-4&-8\end{matrix}\right|=0+16+0-0-16-0= 0$

Como todos los determinantes de orden tres son cero buscamos un determinante de orden 2 distinto de cero.

$\left|A_5\right|=\left|\begin{matrix}1&2\\-1&0\end{matrix}\right|\neq0$

Al ser distinto de cero el rango es dos.

¿Has visto que fácil es? Vamos a complicarlo un poco, pero recuerda que con leer esto no vale. Tienes que hacer ejercicios, muuuuchos ejercicios. Un profesional lo es porque ha practicado mucho para hacer que las cosas que son difíciles parezcan fáciles.

Rango de matrices con parámetros.

Cuándo estás frente a matrices dependientes de parámetros el cálculo del rango se hace más largo pero es igual de metódico. Recuerda que el objetivo es siempre buscar el determinante distinto de cero más grande posible. Para obtenerlo seguimos este esquema:

Vamos a ver un ejemplo para verlo mejor.

Obtenga el rango de la siguiente matriz:

$A=\begin{pmatrix}a&1&2&1\\1&a&3&-1\\-1&2&0&-1\end{pmatrix}$

Siguiendo el esquema anterior, el primer paso sería buscar el determinante más grande posible.

$\left|A_1\right|=\left|\begin{matrix}a&1&2\\1&a&3\\-1&2&0\end{matrix}\right|$

$\left|A_3\right|=\left|\begin{matrix}a&2&1\\1&3&-1\\-1&0&-1\end{matrix}\right|$

$\left|A_2\right|=\left|\begin{matrix}a&1&1\\1&a&-1\\-1&2&-1\end{matrix}\right|$

$\left|A_4\right|=\left|\begin{matrix}1&2&1\\a&3&-1\\2&0&-1\end{matrix}\right|$

Una vez que tienes hecho el primer paso, coges uno de ellos (en mi caso voy a coger el primero por ejemplo, pero podría coger cualquiera), lo calculas y lo igualas a cero. Resolviendo la ecuación que sale de igualar a cero obtienes el valor del parámetro $a$ para el que el determinante que has elegido es cero.