Modelo de Bohr. A caballo entre lo clásico y lo cuántico.

Niels Bohr fue uno de los alumnos de Rutherford y enunció un modelo atómico que intenta arreglar el modelo de su maestro.

En su modelo intentó validar el modelo de Rutherford considerando la hipótesis de Planck con el modelo de su maestro.

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Lo más curioso de este modelo es, que pese a ser descartado por el modelo actual, funciona para el átomo de hidrógeno. El problema nace cuando aparecen mayor número de partículas en el átomo. Es en este momento donde este modelo se hace imposible.

Hipótesis de Planck.

Planck inicia una gran revolución en el mundo de la ciencia con la formulación de su famosa hipótesis que, en un primer momento, era solo teórica.

Su hipótesis dice que la energía está cuantizada, es decir, que la energía no es algo continuo. Si vas al supermercado no puedes comprar una cantidad cualquiera de leche (por ejemplo 3’23L) si no que la venden en paquetes y puedes coger múltiplos de estos paquetes. Estos paquetes en la energía se llaman quantos y la hipótesis de Planck nos viene a decir esto.

La energía correspondiente a cada uno de estos quantos es el producto entre una constante, denominada constante de Planck en su honor, y la frecuencia de este quanto.

$E=h\cdot f$

En donde $h=6'62\cdot 10^{-34} J\cdot s$

El átomo según el modelo de Bohr.

Según Bohr, el átomo estaba formado por dos partes diferenciadas, como en el modelo de Rutherford. El núcleo se situaba en el centro del átomo y estaba formado por protones y neutrones. La corteza tenía electrones girando en órbitas concéntricas alrededor del núcleo.

La diferencia con el modelo de Rutherford es que en este caso no están permitidas todas las órbitas, sino que solo pueden estar en órbitas que cumplan una relación específica. Además en número de electrones que podía haber en cada órbita era limitado y dependía de la órbita.

Postulados.

El modelo de Bohr se basa en los siguientes postulados.

Los electrones giran alrededor del núcleo en órbitas estacionarias sin emitir energía.
Solo son posibles las órbitas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo natural de $h/2\pi$ .
$m\cdot v\cdot r=n\dfrac{h}{2\pi}$
Cuando un electrón pasa de una órbita superior a otra inferior, la diferencia de energía entre ambas se emite en forma de radiación electromagnética.

Energía en el modelo de Bohr.

El tercer postulado de este modelo nos indica que el átomo puede emitir y absorber energía en forma de luz cuando un electrón cambia de órbita pero ¿cómo podemos calcular esta energía? Para calcular esta energía se llega a esta fórmula:

$E=R\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right)$

En donde $R=2'18\cdot 10^{-18} J$ (constante de Rydberg), $n$ es la órbita en la que está inicialmente el electrón y $m$ la final.

Esta ecuación se llama ecuación de Rydberg, gracias a su desarrollador. Esta ecuación se obtuvo de forma experimental y solo se pudo demostrar de forma teórica tras la publicación del modelo de Bohr.

Si aplicamos la hipótesis de Plank y la ecuación de la velocidad de propagación de una onda electromagnética llegamos a obtener la fórmula mediante la que podemos obtener la longitud de onda de la radiación que se absorbe o se emite.

$E=h\cdot f$

$c=\lambda \cdot f$

$E=\dfrac{hc}{\lambda}$

$\dfrac{hc}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right)$

$\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{R}{hc}\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right)$

Esta fórmula se puede utilizar para obtener la longitud de onda de un fotón emitido por una transición que va de una órbita superior a una inferior (por ejemplo cuando el electrón va de la órbita 6 a la órbita 4) u obtener la longitud de onda de la radiación necesaria para que un electrón pase de una órbita inferior a una superior.

$\dfrac{1}{\lambda}=R'\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right)$

En donde $R'=\dfrac{R}{hc}=1'097\cdot 10^7 m^{-1}$ .

Si el electrón pasa de una órbita inferior a una superior (por ejemplo de $n=2$ a $m=5$ ) se necesita energía, por lo que la energía saldrá positiva y si pasa de una superior a una inferior (por ejemplo de $n=6$ a $m=1$ ) saldrá negativa.

Espectros atómicos.

Para entender que son los espectros atómicos tengo que explicarte primero que es el espectro electromagnético.

El espectro electromagnético es el conjunto de todos lo tipos de ondas electromagnéticas. Las ondas electromagnéticas se distinguen por su frecuencia y longitud de onda. Esta imagen sería el espectro electromagnético:

Durante los años previos a la publicación del modelo de Bohr se habían observado los espectros atómicos. Los espectros atómicos podían ser de emisión o absorción y eran el conjunto de todas las frecuencias y longitudes de onda que emitía o absorbía un átomo. El problema es que estos espectros eran discontinuos y el modelo de Rutherford no explicaba el por qué.

Tras la publicación de la hipótesis de Plank y el modelo de Bohr, se dedujo lo siguiente:

El espectro de emisión se obtenía aportando energía a un gas y la radiación emitida era la que los electrones liberaban al cambiar de una órbita superior a otra inferior.
El espectro de absorción se obtenía cuando se irradia un gas con una radiación electromagnética (luz) y esta era todo el espectro electromagnético menos las longitudes de onda que hacían que los electrones subieran de una órbita inferior a otra superior.

Estos espectros los justificaba el modelo de Bohr (al menos para el átomo de hidrógeno) con la fórmula:

$\dfrac{1}{\lambda}=R'\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right)$

Esta fórmula nos permite calcular la longitud de onda que aparecerá o desaparecerá en el espectro de emisión o absorción.

Transiciones energéticas del átomo de hidrógeno.

Durante los años en los que se observaron los espectros de emisión del átomo de hidrógeno se descubrieron distintas lineas que aparecían en este espectro y que acabaron recibiendo el nombre de sus descubridores. Estas son la siguientes:

Lyman. Es el conjunto de transiciones con órbita final $m=1$ , es decir, de $n=2$ a $m=1$ , de $n=3$ a $m=1$ , …
Balmer. Es el conjunto de transiciones con órbita final $m=2$ . Es la más importante por que las longitudes de onda que se emiten están en el rango de la luz visible.
Paschen. Es el conjunto de transiciones con órbita final $m=3$ .
Pfund. Es el conjunto de transiciones con órbita final $m=4$ .

Si necesitas calcular la longitud de onda necesaria o emitida en una transición electrónica lo único que tienes que hacer es utilizar la fórmula. Te recomiendo que de las dos fórmulas que hay (la de la energía y la de la longitud de onda) solo te aprendas una, ya que se puede pasar de una a la otra fácilmente.

Vamos a calcular la energía necesaria para ionizar el átomo de hidrógeno y para colocar un electrón en la órbita 3 teniendo en cuenta que está en su estado fundamental.

Cuando hablamos de ionizar un átomo estamos arrancándolo de este átomo, es decir llevándolo hasta la órbita $m=\infty$ , por lo que tienes que considerar la transición desde $n=1$ hasta $m=\infty$ . Utilizando la ecuación de la energía: