Leyes de Kepler y ley de la gravitación universal.

En este tema de las leyes de Kepler y la gravitación universal veremos:

Johannes Kepler fue un matemático y astrónomo alemán al que debemos las tres leyes de Kepler y abren paso a la comprensión del universo más cercano a nosotros: el Sistema Solar.

Las leyes de Kepler surgen gracias a la teoría heliocéntrica y abren paso a la ley de la gravitación universal. Estas leyes fueron obtenidas de forma totalmente empírica gracias a los estudios de los movimientos planetarios.

Leyes de Kepler.

Tras la observación de los movimientos de los planetas de nuestro sistema solar y gracias al trabajo de su colega Tycho Brahe, Kepler fue capaz de enunciar, tras diecisiete años de estudio, las leyes que llevan su nombre.

1ª ley de Kepler o ley de las órbitas.

Todos los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos.

2ª ley de Kepler o ley de las áreas.

La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

$A_1=A_2$

3ª ley o ley de los periodos.

El cuadrado del periodo de cualquier planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

$T^2=K\cdot r^3$

En la órbita de un planeta, el punto más alejado al sol se denomina afelio y al más cercano perihelio. Cuando hablamos de la órbita terrestre estos términos se cambian por apogeo (más alejado) y perigeo (más cercano).

Ejercicio con la 3ª ley de Kepler.

El planeta Tierra tiene un periodo en su rotación alrededor del Sol de 365’25 días y el planeta Marte tarda 687 días. ¿Cuál es la distancia del Sol a Marte sabiendo que la de la Tierra al Sol es de $1'5\cdot 10^{11}m$ ?

Solución

En estos casos se tendríamos que utilizar la tercera ley de Kepler para los dos planetas.

$T_T^2=Kr_T^3$

$T_M^2=Kr_M^3$

Dividiendo las dos ecuaciones podríamos hacer que las constantes $K$ se fueran.

$\dfrac{T_T^2}{T_M^2}=\dfrac{r_T^3}{r_M^3}$

Sustituímos con los datos y despejamos (el priodo podemos dejar el días, ya que si pondemos en las mismas unidades los periodos no afecta al resultado).

$\dfrac{365'25^2\text{días}^2}{687^2\text{días}^2}=\dfrac{(1'5\cdot 10^{11}m)^3}{R_M^3}$

$R_M=\sqrt[3]{\dfrac{687^2\text{días}^2}{365'25^2\text{días}^2}\cdot (1'5\cdot 10^{11}m)^3}=2'29\cdot 10^{11}m$

Ley de la gravitación universal.

Kepler observó muy bien los planetas y sus órbitas y pudo deducir que las órbitas que describían se debía a una fuerza atractiva entre el Sol y el resto de los planetas e incluso se podía producir entre la Tierra y la Luna. Esto da paso a la famosa ley de la gravitación de Newton, que fue capaz de resolver el problema que había indicado Kepler años antes.

Dos cuerpos experimentan una fuerza atractiva entre ellos directamente proporcional al producto de las masas de estos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

$F_g=\dfrac{GMm}{r^2}$

El vector fuerza gravitatoria desarrollado más tarde es este:

$\vec{F_g}=-\dfrac{GMm}{r^2}\vec {u_r}$

El módulo viene dado por la propia ley de la gravitación universal y es el producto de las masas por la constante de gravitación universal dividido por la distancia que separa las masas al cuadrado. El valor de la constante de gravitación universal es $G=6'67\cdot 10^{11}$ .
La dirección del vector fuerza gravitatoria es la linea recta que une los centros de las masas. El vector $\vec u_r$ es un vector unitario con esta dirección.
El sentido de la fuerza gravitatoria siempre es atractivo. El signo negativo hace que siempre sea atractivo.

En este tema vamos a tratar las masas como puntuales. Esto significa que, para nosotros, estas masas no tienen volumen y su posición es el centro de las mismas. La Tierra, por ejemplo, sería una masa sin volumen colocada en el centro de la Tierra, así que si hablamos de la distancia de la Tierra al Sol estaremos hablando de la distancia entre sus centros. Solo si nos hablan de la densidad de un planeta, estrella o satélite consideraremos que tienen un volumen esférico, pero solo para utilizar la fórmula de la densidad.

Ejercicio básico utilizando la ley de la gravitación universal.

Calcula la fuerza que ejerce la Tierra sobre la Luna. ¿Y la que ejerce la Luna sobre la Tierra?

Datos. Constante de gravitación universal: $G=6'67\cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2$ ; masa de la Tierra: $M_T=5'97\cdot 10^{24} kg$ ; masa de la Luna: $M_L=7'35\cdot 10^{22} kg$ ; distancia entre la Tierra y la Luna: $d_{T-L}=3'84\cdot 10^{8} m$ .

Solución

Para obtener la fuerza que ejerce la Tierra sobre la Luna tenemos que utilizar la ley de la gravitación universal.

$F_g=\dfrac{GM_TM_L}{r_{T-L}^2}=\dfrac{6'67\cdot 10^{-11}Nm^2/kg^2 \cdot 5'97\cdot 10^{24} kg \cdot 7'35\cdot 10^{22} kg}{(3'84\cdot 10^{8} m)^2}$

$F_g=1'98\cdot 10^{20} N$

Para calcular la fuerza que hace la Luna sobre la Tierra es tan simple como utilizar la tercera ley de Newton, la cual dice que si un objeto realiza una fuerza sobre otro, el otro realiza la misma fuerza sobre el uno pero con sentido contrario. Esto significa que el módulo de la fuerza que realiza la Luna sobre la Tierra es el mismo.

Extensión de las leyes de Kepler.

Tras la publicación de la ley de la gravitación universal, las leyes de Kepler obtuvieron un modelo matemático en el que basarse y con el que demostrarse.

Justificación de la tercera ley de Kepler con la ley de la gravitación universal.

En la órbita de un planeta intervienen dos fuerzas, la fuerza centrífuga y la fuerza gravitatoria. Para que esta órbita siga un movimiento uniforme, es decir, no acelere, es necesario que estas fuerzas se anulen. Esto implica que:

$F_g=F_c$

$\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$

Las órbitas de los planetas son elípticas, pero lo suficientemente «circulares» como para aproximarlas por una circunferencia, por lo que podemos aproximar el movimiento de los planetas por un MCU.

Teniendo en cuenta que el MCU es un movimiento periódico en el que su periodo viene definido por:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Y sabiendo que la velocidad angular es la velocidad lineal entre el radio de la órbita:

$\omega=\dfrac{v}{r}$

Entonces obtenemos que el periodo es:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}$

Si despejamos la velocidad de la última ecuación y la introducimos en la igualdad $F_g=F_c$ quedaría lo siguiente:

$\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

$\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2}{r}$

Las masas $m$ se anulan y nos queda:

$\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}}{r}$

Si se opera la fracción de la derecha y se pone de forma que nos interese quedaría la tercera ley de Kepler.

$\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$

En esta ecuación $\dfrac{4\pi^2}{GM}=K$ es la constante de la ecuación de la tercera ley de Kepler.

Ejercicio con la justificación de la tercera ley de Kepler.

Un satélite se encuentra a unos 400 kilómetros de la superficie del planeta que orbita y tiene un periodo de 94 minutos aproximadamente. Calcula la masa de la Tierra.

Datos. Constante de gravitación universal: $G=6'67\cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2$

Solución

Con la relación obtenida anteriormente podemos despejar la masa del planeta al que orbita la Estación Espacial Internacional, en este caso, la Tierra. Solo hay que despejar la masa $M$ .

$M=\dfrac{4\pi^2}{GT^2}r^3$

$M=\dfrac{4\pi^2}{6'67\cdot 10^{-11}(5640s)^2}(4\cdot 10^5 m)^3=1'19\cdot 10^{21}kg$

Justificación de la segunda ley de Kepler.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa. En el movimiento de cuerpos en un campo conservativo se conserva el momento angular.

Momento angular.

El momento angular de una fuerza se define como el producto vectorial del vector de posición $\vec r$ y el vector cantidad de movimiento o momento lineal $\vec p$ .

$\vec L=\vec r \times \vec p=\vec r \times (m\cdot \vec v)$

Su módulo sería:

$L=r\cdot m\cdot v \cdot \sin (\widehat{\vec r, \vec v})$

Demostración matemática con el momento angular de la segunda ley de Kepler.

Como la fuerza gravitatoria es conservativa podemos decir que el momento angular se conserva, por lo que el momento angular en un punto de la órbita será el mismo que otro punto de la órbita. De esta forma podemos concluir que:

$\Delta \vec L=0$

$\vec L_1=\vec L_2 \longrightarrow L_1=L_2$

$r_1\cdot m_1\cdot v_1 \cdot \sin (\widehat{\vec r_1, \vec v_1})=r_2\cdot m_2\cdot v_2 \cdot \sin (\widehat{\vec r_2, \vec v_2})$

Al tratarse de una órbita la masa del objeto es la misma, por lo que:

$r_1\cdot v_1 \cdot \sin (\widehat{\vec r_1, \vec v_1})=r_2\cdot v_2 \cdot \sin (\widehat{\vec r_2, \vec v_2})$

En las órbitas planetarias existen dos puntos muy importantes y que se deben conocer. El perihelio es el punto de la órbita en el que el planeta está más cerca de las estrella a la que orbita. El afelio es el punto más alejando entre los dos cuerpos.

Tanto en el afelio como en el perihelio el ángulo que forman el vector de posición $\vec r$ como el vector velocidad $\vec v$ es de 90º, por lo que el seno que aparece en la fórmula se convierte en un uno al calcular el seno de 90º y la fórmula queda:

$r_a\cdot v_a =r_p\cdot v_p$

Demostración de la segunda ley de Kepler a partir de la expresión de Kepler.

Todo esto se relaciona con la segunda ley de Kepler simplemente desarrollando esta misma ley.

$A_1=A_2$

Para desarrollar esta expreión vamos a utilizar el concepto de diferencial. Un diferencial es una parte muy pequeña de algo. Un diferencial del tipo $\vec{dr}/dt$ es un vector que nos indica lo que varía $\vec r$ en un instante de tiempo muy pequeño.

$A=\dfrac{1}{2}|\vec r\times\dfrac{\vec {dr}}{dt}|$

Para comprender esta ecuación es necesario saber que el área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que funcionan como su base y su altura. También es necesario saber que $\vec {dr}/dt=\vec v$ , por lo que al sustituirlo en la ecuación anterior nos queda:

$A=\dfrac{1}{2}|\vec r\times\vec v|$

El módulo del producto vectorial desarrollado sería:

$A=\dfrac{1}{2} r\cdot v \sin (\widehat{\vec r, \vec v})$

Si sustituimos en la segunda ley de Kepler obtenemos la misma expresión que con el momento angular:

$r_1\cdot v_1 \cdot \sin (\widehat{\vec r_1, \vec v_1})=r_2\cdot v_2 \cdot \sin (\widehat{\vec r_2, \vec v_2})$

Esta ecuación tien una expresión para el afelio y el perihelio de la forma:

$r_a\cdot v_a =r_p\cdot v_p$

Ejercicio con la segunda ley de Kepler.

El planeta Marte, en su movimiento alrededor del Sol, describe una órbita elíptica. El punto de la órbita más cercano al Sol, perihelio, se encuentra a $206,7\cdot10^6 km$ , mientras que el punto de la órbita más alejado del Sol, afelio, está a $249,2\cdot10^6 km$ . Si la velocidad de Marte en el perihelio es de $26,50 km/s$ , determine la velocidad de Marte en el afelio.

Solución

Este ejercicio se resuelve utilizando la segunda ley de Kepler, ya que nos dan las palabras clave afelio y perihelio y los datos son las distancias de Marte al Sol y la velocidad de este planeta.

$r_a\cdot v_a =r_p\cdot v_p$