Para determinar que tipos de sistemas de ecuaciones existen se tiene que entender que los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar de dos formas distintas:
Tipos de sistemas de ecuaciones según el número de soluciones.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones. Un sistema puede tener una sola solución, infinitas soluciones o no tener solución.
Sistemas de ecuaciones compatibles.
Un sistema compatible es aquel que tiene solución. Si tiene solución, estas soluciones pueden ser infinitas o una única solución.
Sistemas de ecuaciones compatibles determinados.
Un sistema compatible determinado es aquel que tiene una única solución para cada incógnita. Un ejemplo de sistema compatible determinado sería:
![\[\left\{\begin{matrix}2x+y=2\\x-3y=0\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cb25093095ae0e7aeb04cbf669b5abc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Al resolver este sistema se obtiene que la solución es :
![\[\left\{\begin{matrix}x=6/7\\y=2/7\end{matrix}\right .\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7ef5b4361f01208a7e61a0cc791d999_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como esta solución es única, el sistema es compatible (porque tiene solución) determinado (porque su solución es única).
Sistemas de ecuaciones compatibles indeterminados.
Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones, es decir, que sus solución es una combinación lineal de números indeterminados. La solución de un sistema de este tipo es:
![\[\left\{\begin{matrix}x=5-3\lambda\\y=2\lambda-2\\z=\lambda\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a12efb1982b4d800638fdc69aaaf6d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En esta solución aparece una letra. En este caso se utiliza la letra griega 
. Esta letra es un parámetro, es decir, un número al que se le puede dar un valor arbitrario. Esto significa que sustituyas el número que sustituyas por el resultado va a ser solución del sistema:
![\[\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\x+2y-z=1\\2x+3y=4\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35769aae912ca8aa0b5ed6b29372abb6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Todo esto junto hace que este sistema tenga infinitas soluciones al poder sustituir cualquier número por , lo que provoca que sea un sistema compatible (porque tiene solución) indeterminado (porque tiene infinitas soluciones).
Sistemas de ecuaciones incompatibles.
Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución. Estos sistemas no se resuelven. Un ejemplo de este tipo de sistemas sería:
![\[\left\{\begin{matrix}x+y=2\\x+y=0\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2d11b2cadcea0024f42c3e43171447c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Este sistema es incompatible por una razón obvia, si la suma de x e y es cero, como va a ser también dos. Esto es imposible, por lo que, como no hay dos números que cumplan las dos ecuaciones a la vez, el sistema no tiene solución y por lo tanto es un sistema incompatible.
Tipos de sistemas de ecuaciones según su forma.
Los sistemas de ecuaciones también pueden clasificarse según su forma.
Sistemas de ecuaciones homogéneos.
Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todas las ecuaciones del sistema están igualadas a cero, es decir, no existe un término independiente (un número solito).
Esto SÍ es un sistema homogéneo.
![\[\left\{\begin{matrix}x+y+z=0\\x-y-z=0\\x+2y=0\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ef1a30b063a86c0a09b845e429bd478_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esto NO es un sistema homogéneo.
![\[\left\{\begin{matrix}x+y+z+\mathbf{3}=0\\x-y-z-\mathbf{1}=0\\x+2y=0\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a7a2dd6ba856264db6a1cbd02450ea5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
El sistema no homogéneo no lo es porque tiene en la primera ecuación un tres y en la segunda un dos.
Los sistemas de ecuaciones homogéneos siempre son compatibles, es decir, siempre tienen solución. Estos sistemas pueden ser determinados o indeterminados, pero siempre compatibles.
Sistemas de ecuaciones escalonados.
Un sistema de ecuaciones escalonado es aquel que tiene una incógnita menos en cada ecuación, es decir, uno como este:
![\[\left\{\begin{matrix}x&+y&+2z&=3\\&y&-z&=2\\&&z&=0\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68758d8fc39515715e411bb127208cbd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Al tener una incógnita menos en cada ecuación parece que en cada ecuación se baja un escalón, por eso se llaman así.
Más ejemplos de ecuaciones escalonados ![\[\left\{\begin{matrix}x&+y&=3\\&y&=2\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bd33d7a4dc372ef7d6d20ad563c850d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\left\{\begin{matrix}-2x&+3y&+3z&=3\\&-2y&+z&=3\\&&z&=7\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4b1da4d5729d32ad2299b9ef5635ca3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\left\{\begin{matrix}x&+y&+2z&-4t&=3\\&y&-z&-t&=2\\&&z&+2t&=0\\&&&t&=-2\end{matrix}\right.\]](https://www.motyscience.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71867fde850f434b0daf9f23a7aae28b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
