Teorema de Rouché Frobenius. Discusión de sistemas.

El teorema de Rouché Frobenius es un método que se utiliza para analizar el número de soluciones que tiene un sistema de ecuaciones lineales.

Forma matricial de un sistema.
Teorema de Rouché.
Discusión de un sistema.
Discusión de un sistema con parámetros.

Tipos de sistemas

Regla de Cramer

Método de Gauss

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones es una ecuación matricial de la forma $AX=B$ .

$A$ es la matriz de coeficientes y está compuesta por los coeficientes de cada ecuación.
$X$ es la matriz de incógnitas y es una matriz columna que contiene las incógnitas del sistema.
$B$ es la matriz de resultados y contiene los términos independientes de cada ecuación.

Para un sistema general como este:

$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+a_{13}x_3+&\cdots&+a_{1m}x_m&=&b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+a_{23}x_3+&\cdots&+a_{2m}x_m&=&b_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}x_1&+a_{n2}x_2&+a_{n3}x_3+&\cdots&+a_{nm}x_m&=&b_n\end{matrix}\right.$

Se obtendría una ecuación $AX=B$ con la matrices siguientes:

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$

Ejemplo

$\left\{\begin{matrix}3x&+2y&+5z&-t&=&1\\-x&-3y&+z&+t&=&-2\\2x&-y&+5z&-2t&=&0\\x&2y&-3z&+3t&=&-1\end{matrix}\right.$

Este sistema se pondría en su forma matricial como:

$\begin{pmatrix}3&2&5&-1\\-1&-3&1&1\\2&-1&5&-2\\1&2&-3&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\text{}$

Para utilizar el teorema de Rouché Frobenius se utilizan las matrices A y A*. La matriz A es la matriz de coeficientes y la matriz A* es un matriz que está compuesta por la matriz A y la matriz B. Para formar la matriz A* se colocan A y B en la misma matriz añadiendo B como una columna más de la matriz.

$A^*=\begin{pmatrix}a_{11}&a{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}&b_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2m}&b_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nm}&b_n\end{pmatrix}$

Ejemplo

$\left\{\begin{matrix}3x&+2y&+5z&-t&=&1\\-x&-3y&+z&+t&=&-2\\2x&-y&+5z&-2t&=&0\\x&2y&-3z&+3t&=&-1\end{matrix}\right.$

Para el sistema del ejemplo anterior, las matrices A y A* serían:

$A=\begin{pmatrix}3&2&5&-1\\-1&-3&1&1\\2&-1&5&-2\\1&2&-3&3\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}3&2&5&-1&1\\-1&-3&1&1&-2\\2&-1&5&-2&0\\1&2&-3&3&-1\end{pmatrix}$

Teorema de Rouché Frobenius.

Cuando el rg(A)=rg(A*) el sistema es compatible, es decir, que tiene solución.
- Si rg(A)=rg(A*)=número de incógnitas el sistema es compatible determinado, es decir, que tiene solución única.
- Si rg(A)=rg(A*) $\neq$ número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado, es decir, que tiene infinitas soluciones.
Cuando el rg(A) $\neq$ rg(A*) el sistema es incompatible, es decir, que no tiene solución.

¿Qué es discutir un sistema?

Discutir un sistema de ecuaciones es decir el tipo de sistema que es según el el número de soluciones que tenga este. Para discutir un sistema hay que estudiar el rango de las matrices A y A*, ya que el rango de estas matrices determina el tipo de sistema del que se trata.

Si te piden que discutas un sistema las respuestas posibles son:

Compatible determinado.
Compatible indeterminado.
Incompatible.

Para discutir un sistema es necesario saber hacer determinantes de segundo y tercer orden, la definición de rango de una matriz y calcular rangos de matrices. Si esto no lo controlas es necesario que lo repases.

Apuntes determinantes

Definición de rango de una matriz

Apuntes cálculo de rango

Discusión de un sistema con el método de Rouché Frobenius.

Para discutir un sistema de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se calcula el rango de la matriz A.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Una vez que se saben los pasos para discutir un sistema hay que ver un ejemplo para que estos pasos tengan sentido.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema compatible determinado).

Discute el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix}x+z=1\\2y+z=2\\y+z=0\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el siguiente sistema seguimos los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&2&1&2\\0&1&1&0\end{pmatrix}$

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Para calcular el rango de A se calcula el determinante más grande posible. En este caso es el determinante de toda la matriz.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\0&1&1\end{vmatrix}=2+0+0-0-0-1=1$

Como el determinante de A es distinto de cero, el rango de A es el orden del determinante, es decir, rg(A)=3.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Para calcular el rango de A* se utiliza el mismo método que se ha aplicado en el paso anterior con la matriz A. Se busca el determinante más grande posible dentro de la matriz A*.

Como la matriz A* tiene dimensión 3×4, el determinante más grande posible va a ser de orden tres. Este determinante se obtiene al eliminar una columna de la matriz A*.

Se coge el primer determinante que sería el resultado de eliminar la columna 4. Al eliminar la última columna el determinante que sale es el seterminante de A, por lo que su valor es el mismo.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&1\\0&1&1\end{vmatrix}=2+0+0-0-0-1=1$

Como este determinante es distinto de cero, el rango es distinto de cero, el rango de la matriz A* es el orden de este determinante, es decir, el rg(A*)=3.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Tras todo esto se enuncia el caso en el que estamos del teorema de Rouché Frobenius. El número de incógnitas en este caso son tres (x, y, z).

Como rg(A)=3=rg(A*)=número de incógnitas, según el teorema de Rouché el sistema es compatible determinado.

Esta frase es la más importante del ejercicio, ya que es la respuesta.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema compatible indeterminado).

Discute el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+z&=&-1\\2x&-y&+z&=&2\\3x&&+2z&=&1\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el siguiente sistema seguimos los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&-1\\2&-1&1&2\\3&0&2&1\end{pmatrix}$

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Para calcular el rango de A se calcula el determinante más grande posible. En este caso es el determinante de toda la matriz.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{vmatrix}=-2+0+3+3-0-4=0$

Como el determinante de A es igual a cero se busca otro determinante de orden tres. En este caso no hay ninguno, por lo que se pasa a buscar uno de orden dos.

$\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-1-2=-3\neq 0$

Como este determinante es distinto de cero, el rango de A es el orden del determinante, es decir, rg(A)=2.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Para calcular el rango de A* se utiliza el mismo método que se ha aplicado en el paso anterior con la matriz A. Se busca el determinante más grande posible dentro de la matriz A*.

Como la matriz A* tiene dimensión 3×4, el determinante más grande posible va a ser de orden tres. Este determinante se obtiene al eliminar una columna de la matriz A*.

Se coge el primer determinante que sería el resultado de eliminar la columna 4. Al eliminar la última columna el determinante que sale es el seterminante de A, por lo que su valor es el mismo.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{vmatrix}=0$

Como este determinnte es igual a cero, por lo que se busca otro determinante de orden tres, que en el caso de A* si se puede obtener, hasta encontrar uno distinto de cero.

$\begin{vmatrix}A^*_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&2\\3&0&1\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&1&2\\3&2&1\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1\\-1&1&2\\0&2&1\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=\neq0$

Como este determinante es distinto de cero, el rango es distinto de cero, el rango de la matriz A* es el orden de este determinante, es decir, el rg(A*)=2.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Tras todo esto se enuncia el caso en el que estamos del teorema de Rouché Frobenius. El número de incógnitas en este caso son tres (x, y, z).

Como rg(A)=2=rg(A*) $\neq$ número de incógnitas, según el teorema de Rouché el sistema es compatible indeterminado.

Esta frase es la más importante del ejercicio, ya que es la respuesta.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema incompatible).

Discute el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+z&=&-1\\2x&-y&+z&=&2\\3x&&+2z&=&2\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el siguiente sistema seguimos los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&-1\\2&-1&1&2\\3&0&2&2\end{pmatrix}$

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Para calcular el rango de A se calcula el determinante más grande posible. En este caso es el determinante de toda la matriz.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{vmatrix}=-2+0+3+3-0-4=0$

Como el determinante de A es igual a cero se busca otro determinante de orden tres. En este caso no hay ninguno, por lo que se pasa a buscar uno de orden dos.

$\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-1-2=-3\neq 0$

Como este determinante es distinto de cero, el rango de A es el orden del determinante, es decir, rg(A)=2.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Para calcular el rango de A* se utiliza el mismo método que se ha aplicado en el paso anterior con la matriz A. Se busca el determinante más grande posible dentro de la matriz A*.

Como la matriz A* tiene dimensión 3×4, el determinante más grande posible va a ser de orden tres. Este determinante se obtiene al eliminar una columna de la matriz A*.

Se coge el primer determinante que sería el resultado de eliminar la columna 4. Al eliminar la última columna el determinante que sale es el seterminante de A, por lo que su valor es el mismo.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\3&0&2\end{vmatrix}=0$

Como este determinnte es igual a cero, por lo que se busca otro determinante de orden tres, que en el caso de A* si se puede obtener, hasta encontrar uno distinto de cero.

$\begin{vmatrix}A^*_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&2\\3&0&2\end{vmatrix}=-2+0+6-3-4-0=-3\neq0$

Como este determinante es distinto de cero, el rango es distinto de cero, el rango de la matriz A* es el orden de este determinante, es decir, el rg(A*)=3.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Tras todo esto se enuncia el caso en el que estamos del teorema de Rouché Frobenius. El número de incógnitas en este caso son tres (x, y, z).

Como rg(A)=2 $\neq$ rg(A*)=3, según el teorema de Rouché el sistema es incompatible.

Esta frase es la más importante del ejercicio, ya que es la respuesta.

Discusión de un sistema con parámetros.

Discutir sistemas sin parámetros es relativamente sencillo si se siguen los pasos al pie de la letra. Un parámetro es una letra (normalmente griega) que al sustituirse por un valor u otro provoca una variación en el sistema. Esto último quiere decir que si sustituyo el parámetro por un tres el sistema puede ser compatible determinado, pero si lo sustituyo por un cero puede cambiar y ser incompatible.

Los pasos a seguir en este caso son muy parecidos a los que se siguen para un sistema sin parámetros. Hay que recordar que el objetivo del proceso es discutir los rangos de las matrices A y A*. Para discutir un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro se siguen estos pasos:

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel fácil).

Discute el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a:

$\left\{\begin{matrix}-x&+2y&+az&=&1\\&-3y&+z&=&2\\-x&+5y&-z&=&-1\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el sistema en función de los valores del parámetro a se tienen que seguir los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}-1&2&a\\0&-3&1\\-1&5&-1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}-1&2&a&1\\0&-3&1&2\\-1&5&-1&-1\end{pmatrix}$

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Para discutir el rango de A en función de los valores del parámetro se calcula el determinante, se iguala a cero y se resuelve la ecuación.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2&a\\0&-3&1\\-1&5&-1\end{vmatrix}=-3+0-2-3a-0+5=0$

$-3a=0\longrightarrow a=0$

Una vez que se han calculado los valores para los que el determinante de A es cero, se llega a la conclusión de que se tienen dos casos en el sistema:

$a=0$
$a\neq0$

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Una vez que se saben los casos existentes en el sistema, se analizan los rangos de A y A* para estos mismos casos. Yo suelo empezar por el caso distinto de las soluciones para que no se me olvide.

$a\neq0$

Si $a\neq0\rightarrow|A|\neq0$ por lo que rg(A)=3. Si se piensa en A* se puede decir que rg(A*)=3 también, ya que si se busca un determinante lo más grande posible distinto de cero, será |A| que está dentro de A*. Esto significa que el rg(A*) nunca puede ser menor que el rg(A).

$a=0$

Lo primero que hay que hacer es sustituir el valor de a en A y A*.

$A=\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&-3&1\\-1&5&-1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}-1&2&0&1\\0&-3&1&2\\-1&5&-1&-1\end{pmatrix}$

Tras esto, se sabe que si $a=0\rightarrow|A|=0$ por lo que hay que buscar un determinante de orden dos distinto de cero, ya que no existen más determinantes de orden 3 en la matriz A.

$\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2\\0&-3\end{vmatrix}=3-0\neq0$

Esto último hace que el rg(A)=2. Después se pasa a analizar la matriz A*. Para obtener su rango es necesario buscar un determinante de mayor orden posible (en este caso se empieza por orden 3 que es el máximo) que sea distinto de cero.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2&1\\0&-3&2\\-1&5&-1\end{vmatrix}=-3+0-4-3-0+10=0$

$\begin{vmatrix}A^*_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&0&1\\0&1&2\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=1+0+0+1-0-2=0$

$\begin{vmatrix}A^*_4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&0&1\\-3&1&2\\5&-1&-1\end{vmatrix}=-2+3+0-5+4-0=0$

Una vez que todos los posibles determinantes de orden tres han dado cero se busca uno de orden dos.

$\begin{vmatrix}A^*_5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2\\0&-3\end{vmatrix}\neq0$

Esto hace que rg(A*)=2.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Tras obtener los rangos de A y A* para cada uno de los casos, se enuncia el Teorema de Rouché Frobenius para discutir el sistema.

Si $a\neq0\longrightarrow rg(A)=3=rg(A^*)=$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible determinado (SCD).

Si $a=0\longrightarrow rg(A)=2=rg(A^*)\neq$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible indeterminado (SCI).

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel medio).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$ :

$\left\{\begin{matrix}-x&+\lambda y&+2z&=&\lambda\\2x&+\lambda y&-z&=&2\\\lambda x&-y&+2z&=&\lambda\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el sistema en función de los valores del parámetro $\lambda$ se tienen que seguir los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}-1&\lambda&2\\2&\lambda&-1\\\lambda&-1&2\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}-1&\lambda&2&\lambda\\2&\lambda&-1&2\\\lambda&-1&2&\lambda\end{pmatrix}$

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Para discutir el rango de A en función de los valores del parámetro se calcula el determinante, se iguala a cero y se resuelve la ecuación.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&\lambda&2\\2&\lambda&-1\\\lambda&-1&2\end{vmatrix}=-2\lambda-4-\lambda^2-2\lambda^2-4\lambda+1=-3\lambda^2-6\lambda-3=0$

$-3\lambda^2-6\lambda-3=0\longrightarrow\left\{\begin{matrix}\lambda=-1\\\lambda=-1\end{matrix}\right.$

Una vez que se han calculado los valores para los que el determinante de A es cero, se llega a la conclusión de que se tienen dos casos en el sistema:

$\lambda=-1$
$\lambda\neq-1$

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Una vez que se saben los casos existentes en el sistema, se analizan los rangos de A y A* para estos mismos casos. Yo suelo empezar por el caso distinto de las soluciones para que no se me olvide.

$\lambda\neq-1$

Si $\lambda\neq-1\rightarrow|A|\neq0$ por lo que rg(A)=3. Si se piensa en A* se puede decir que rg(A*)=3 también, ya que si se busca un determinante lo más grande posible distinto de cero, será |A| que está dentro de A*. Esto significa que el rg(A*) nunca puede ser menor que el rg(A).

$\lambda=-1$

Lo primero que hay que hacer es sustituir el valor de a en A y A*.

$A=\begin{pmatrix}-1&-1&2\\2&-1&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}-1&-1&2&-1\\2&-1&-1&2\\-1&-1&2&-1\end{pmatrix}$

Tras esto, se sabe que si $\lambda=-1\rightarrow|A|=0$ por lo que hay que buscar un determinante de orden dos distinto de cero, ya que no existen más determinantes de orden 3 en la matriz A.

$\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&-1\\2&-1\end{vmatrix}=1+2\neq0$

Esto último hace que el rg(A)=2.

Después se pasa a analizar la matriz A*. Para obtener su rango es necesario buscar un determinante de mayor orden posible (en este caso se empieza por orden 3 que es el máximo) que sea distinto de cero.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&-1&-1\\2&-1&2\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=-1+2+2+1-2-2=0$

$\begin{vmatrix}A^*_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&-1\end{vmatrix}=-1-4-4+1+4+4=0$

$\begin{vmatrix}A^*_4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&2&-1\\-1&-1&2\\-1&2&-1\end{vmatrix}=-1+2-4+1-2+4=0$

Una vez que todos los posibles determinantes de orden tres han dado cero se busca uno de orden dos.

$\begin{vmatrix}A^*_5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&-1\\2&-1\end{vmatrix}=1+2\neq0$

Esto hace que rg(A*)=2.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Tras obtener los rangos de A y A* para cada uno de los casos, se enuncia el Teorema de Rouché Frobenius para discutir el sistema.

Si $\lambda\neq-1\longrightarrow rg(A)=3=rg(A^*)=$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible determinado (SCD).

Si $\lambda=-1\longrightarrow rg(A)=2=rg(A^*)\neq$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible indeterminado (SCI).

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel experto).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros a y b:

$\left\{\begin{matrix}x&&+2z&=&3\\3x&+y&+z&=&-1\\&by&-z&=&a-1\end{matrix}\right.$

Solución

Para discutir el sistema en función de los valores de los parámetros a y b se tienen que seguir los pasos.

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&b&-1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&0&2&3\\3&1&1&-1\\0&b&-1&a-1\end{pmatrix}$

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Para discutir el rango de A en función de los valores del parámetro se calcula el determinante, se iguala a cero y se resuelve la ecuación.

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&b&-1\end{vmatrix}=-1+6b+0-0-0-b=-1+5b=0$

$-1+5b=0\longrightarrow b=1/5$

Una vez que se han calculado los valores para los que el determinante de A es cero, se llega a la conclusión de que se tienen dos casos en el sistema:

$b=1/5$
$b\neq 1/5$

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Una vez que se saben los casos existentes en el sistema, se analizan los rangos de A y A* para estos mismos casos. Yo suelo empezar por el caso distinto de las soluciones para que no se me olvide.

$b\neq1/5$

Si $b\neq1/5\rightarrow|A|\neq0$ por lo que rg(A)=3. Si se piensa en A* se puede decir que rg(A*)=3 también, ya que si se busca un determinante lo más grande posible distinto de cero, será |A| que está dentro de A*. Esto significa que el rg(A*) nunca puede ser menor que el rg(A).

$b=1/5$

Lo primero que hay que hacer es sustituir el valor de a en A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&1/5&-1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&0&2&3\\3&1&1&-1\\0&1/5&-1&a-1\end{pmatrix}$

Tras esto, se sabe que si $b=1/5\rightarrow|A|=0$ por lo que hay que buscar un determinante de orden dos distinto de cero, ya que no existen más determinantes de orden 3 en la matriz A.

$\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1+0\neq0$

Esto último hace que el rg(A)=2.

$\begin{vmatrix}A^*_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}A^*_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&3\\3&1&-1\\0&1/5&a-1\end{vmatrix}=a-1+9/5+0-0-0+1/5=a+1$

Una vez que se ha obtenido el determinante $|A^*_2|$ se iguala a cero para calcular los valores de a para los que este determinante vale cero.

$a+1=0\longrightarrow a=-1$

Tras esto se exponen los distintos casos:

$a=-1$
$a\neq-1$

Tal y como se ha hecho para la matriz A, para el parámetro b, se discute el rango de A* en función de los valores del parámetro a.

Si $a\neq-1\rightarrow|A^*_2|\neq0$ por lo que rg(A*)=3.
Si $a=-1\rightarrow|A^*_2|=0$ por lo que hay que seguir buscando determinantes distintos de cero.

$\begin{vmatrix}A^*_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\3&1&-1\\0&-1&-2\end{vmatrix}=-2-9+0-0+12-1=0$

$\begin{vmatrix}A^*_4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&2&3\\3&1&1&-1\\0&1/5&-1&-2\end{vmatrix}=0-3-2/5-3/5+4-0=0$

Una vez que todos los posibles determinantes de orden tres han dado cero se busca uno de orden dos.

$\begin{vmatrix}A^*_5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1+0\neq0$

Esto hace que rg(A*)=2.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Tras obtener los rangos de A y A* para cada uno de los casos, se enuncia el Teorema de Rouché Frobenius para discutir el sistema.

Si $b\neq1/5\longrightarrow rg(A)=3=rg(A^*)=$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible determinado (SCD).

Si $b=1/5$ y $a\neq-1\longrightarrow rg(A)=2\neq rg(A^*)=3$ , por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema incompatible (SI).
Para $b=1/5$ y $a=-1\longrightarrow rg(A)=2=rg(A^*)\neq$ nº de incógnitas, por lo que, según el teorema de Rouché Frobenius, se trata de un sistema compatible indeterminado (SCI).

$\text{}$

Tipos de sistemas

Regla de Cramer

Método de Gauss

Teorema de Rouché Frobenius. Discusión de sistemas.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Teorema de Rouché Frobenius.

¿Qué es discutir un sistema?

Discusión de un sistema con el método de Rouché Frobenius.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema compatible determinado).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema compatible indeterminado).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Ejemplo discusión de sistemas de ecuaciones lineales (sistema incompatible).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se calcula el rango de A.

Paso 3. Se calcula el rango de A*.

Paso 4. Se enuncia el caso del teorema de Rouché Frobenius que corresponde al sistema.

Discusión de un sistema con parámetros.

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel fácil).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel medio).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

Ejemplo de discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros (nivel experto).

Paso 1. Obtener las matrices A y A*.

Paso 2. Se discute el rango de A en función de los valores del parámetro.

Paso 3. Se formulan los distintos casos existentes en la discusión de rangos para discutir el rango de A*.

Paso 4. Para cada caso se aplica el teorema de Rouché y se escriben los resultados.

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