Regla de Cramer. Resolución de sistemas.

La regla de Cramer es un método que utiliza determinantes para obtener las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Según sea el sistema se pueden aplicar el mismo método de dos formas distntintas.

Regla de Cramer para sistemas compatibles determinados.

Regla de Cramer para sistemas compatibles indeterminados.

Tipos de sistemas

Teorema de Rouché Frobenius

Método de Gauss

¿Cuándo se puede utilizar la regla de Cramer?

La regla de Cramer se utiliza para obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Puede utilizarse cuando el determinante de la matriz A es distinto de cero, ya que las soluciones se obtienen dividiendo un determinante (ya veremos cuál) entre el determinante de la matriz A.

Si el determinante de la matriz A es cero no se podría utilizar este método, ya que dividir entre cero es imposible por la propia definición de la división, vamos que entre cero no se puede dividir.

Es importante destacar que este método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se debe utilizar una vez que se ha discutido el sistema para ver el número de soluciones de este y así poder aplicar el método apropiado.

Cómo resolver por Cramer un sistema compatible determinado.

La regla de Cramer nos dice que solo se puede utilizar cuando el determinante de la matriz A es distinto de cero, por lo que si el determinante de la matriz A es distinto de cero se trata de un sistema compatible determinado. Esto quiere decir, que la regla de Cramer solo se puede aplicar a los sistemas compatibles determinados.

Regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

La regla de Cramer dice que las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas del tipo:

$\left\{\begin{matrix}Ax&+By&=&c\\A'x&+B'y&=&c'\end{matrix}\right.$

Cuyas matrices A y A* tienen la forma:

$A=\begin{pmatrix}A&B\\A'&B'\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}A&B&c\\A'&B'&c'\end{pmatrix}$

Tiene como soluciones:

$x=\dfrac{|A_x|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}c&B\\c'&B'\end{vmatrix}}{|A|}$

$y=\dfrac{A_y}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}A&c\\A'&c'\end{vmatrix}}{|A|}$

Esto se explica muy fácilmente. Si queremos obtener el valor de x necesitamos el determinante de $A_x$ que se obtiene sustituyendo en la A la columna donde están los coeficientes de las x por la columna que añadimos en la matriz ampliada A* y lo mismo con la matriz $A_y$ .

Ejemplo de resolución de un sistema compatible determinado utilizando Cramer.

Resuelva el siguiente sistema compatible determinado:

$\left\{\begin{matrix}3x-y=1\\x-2y=2\end{matrix}\right.$

Solución

Para obtener la soluciones de este sistema de ecuaciones lineales, lo primero que hay que hacer es obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}3&-1\\1&-2\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&-2&2\end{pmatrix}$

Tras esto se calculan la soluciones mediante la regla de Cramer.

$x=\dfrac{|A_x|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1\\2&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-1\\1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2+2}{-6+1}=\dfrac{0}{-5}=0$

$y=\dfrac{|A_y|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1\\1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-1\\1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{6-1}{-6+1}=\dfrac{5}{-5}=-1$

Regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

La regla de Cramer dice que las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas del tipo:

$\left\{\begin{matrix}Ax&+By&+Cz&=&d\\A'x&+B'y&+C'z&=&d'\\A''x&+B''y&+C''z&=&d''\end{matrix}\right.$

Cuyas matrices A y A* tienen la forma:

$A=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\A''&B''&C''\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}A&B&C&d\\A'&B'&C'&d'\\A''&B''&C''&d''\end{pmatrix}$

Tiene como soluciones:

$x=\dfrac{|A_x|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}d&B&C\\d'&B'&C'\\d''&B''&C''\end{vmatrix}}{|A|}$

$y=\dfrac{|A_y|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}A&d&C\\A'&d'&C'\\A''&d''&C''\end{vmatrix}}{|A|}$

$z=\dfrac{|A_z|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}A&B&d\\A'&B'&d'\\A''&B''&d''\end{vmatrix}}{|A|}$

Ejemplo de resolución de un sistema compatible determinado de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando Cramer.

Resuelva el siguiente sistema compatible determinado:

$\left\{\begin{matrix}2x&-y&+z&=&-1\\x&-2y&-z&=&2\\x&+y&+z&=&0\end{matrix}\right.$

Solución

Para obtener la soluciones de este sistema de ecuaciones lineales, lo primero que hay que hacer es obtener las matrices A y A*.

$A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-2&-1\\1&1&1\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}2&-1&1&-1\\1&-2&-1&2\\1&1&1&0\end{pmatrix}$

Tras esto se calculan la soluciones mediante la regla de Cramer.

$x=\dfrac{|A_x|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-1&1\\2&-2&-1\\0&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&-2&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{2+2+0-0+2-1}{-4+2+1+4+1+2}=\dfrac{5}{3}$

$y=\dfrac{|A_y|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&2&-1\\1&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&-2&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{4+0+1-2-0+1}{-4+2+1+4+1+2}=\dfrac{4}{3}$

$z=\dfrac{|A_z|}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&-2&2\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&-2&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{0-1-2-2-4-0}{-4+2+1+4+1+2}=\dfrac{-9}{3}=-3$

Cómo resolver por Cramer un sistema compatible indeterminado.

La regla de Cramer solo funciona cuando el determinante de la matriz A es distinto de cero, pero en un sistema compatible indeterminado este determinante vale cero. Para salvar este obstáculo se transforma el sistema que nos dan en un compatible determinado.

Este método, cuando el sistema es compatible indeterminado, solo merece la pena cuando tiene al menos tres ecuaciones y tres incógnitas.

Regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Para poder utilizar la regla de Cramer en un sistema compatible indeterminado con tres ecuaciones y tres incógnitas se siguen los siguientes pasos.

Paso 1. Eliminar la ecuación linealmente dependiente de las otras dos. Esto se consigue eliminando la fila que no está presente en un determinante de orden dos distinto de cero de la matriz A.

Paso 2. Sustituir una de las incógnitas por un parámetro. Este parámetro puede ser $\lambda$ , $\alpha$ , $\eta$ …

Paso 3. Transformar el sistema para que el parámetro esté a la derecha del igual.

Paso 4. Aplicar regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo de resolución de un sistema compatible indeterminado utilizando Cramer.

Obtenga las soluciones del siguiente sistema compatible indeterminado:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+z&=&0\\2x&+4y&-2z&=&4\\x&+2y&-z&=&2\end{matrix}\right.$

Solución

Para resolver el sistema seguimos los pasos:

Paso 1. Eliminar la ecuación linealmente dependiente de las otras dos.

Tal y como se puede observar en el sistema, la segunda ecuación es el doble de la tercera ecuación, por lo que se puede eliminar cualquiera de esas dos. En mi caso voy a eliminar la tercera, pero se podría hacer igualmente eliminando la segunda ecuación.

El sistema sin la tercera ecuación quedaría así:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+z&=&0\\2x&+4y&-2z&=&4\end{matrix}\right.$

Paso 2. Sustituir una de las incógnitas por un parámetro. Este parámetro puede ser $\lambda$ , $\alpha$ , $\eta$ …

Yo voy a sustituir z por $\lambda$ . El sistema quedaría:

$\left\{\begin{matrix}x&+y&+\lambda&=&0\\2x&+4y&-2\lambda&=&4\end{matrix}\right.$

Paso 3. Transformar el sistema para que el parámetro esté a la derecha del igual.

$\left\{\begin{matrix}x&+y&=&-\lambda\\2x&+4y&=&4+2\lambda\end{matrix}\right.$

Paso 4. Aplicar Cramer para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Primero se obtienen A y A*.

$A=\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}$

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&-\lambda\\2&4&4+2\lambda\end{pmatrix}$

Después se calculan las soluciones:

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}-\lambda&1\\4+2\lambda&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{-4\lambda-4-2\lambda}{4-2}=\dfrac{-6\lambda-4}{2}=-3\lambda-2$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-\lambda\\2&4+2\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{4+2\lambda+2\lambda}{4-2}=\dfrac{4+4\lambda}{2}=2\lambda+2$