Campo gravitatorio y su relación con la fuerza gravitatoria.

En este tema de campo gravitatorio vamos a ver:

El campo gravitatorio es el primero de los tres campos de fuerzas que se estudian en el Bachillerato.

Los campos son magnitudes vectoriales que se utilizan en la física para mostrar un modelo hipotético de la fuerza que existiría en un punto y que características tiene esta.

Concepto de campo.

En el mundo de la física existen dos tipos de magnitudes:

Escalares: son aquellas que no tienen dirección y sentido. Ejemplos de estas magnitudes son la temperatura o la presión.
Vectoriales: son aquellas que tienen un módulo, una dirección y un sentido. Ejemplos de estas unidades son la velocidad o la fuerza.

Un campo se define como toda aquella región del espacio en cuyos puntos está definida una magnitud física. (Definición de la RAE)

Campo gravitatorio.

El campo gravitatorio es la fuerza gravitatoria que actuaría en un punto sobre una masa de $m=1kg$ .

Las características de este vector son:

El módulo es directamente proporcional a la masa que genera el campo e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre esta y el punto donde se quiere valorar. Este módulo se conoce comúnmente como gravedad.

$\vec g=-\dfrac{GM}{r^2}\vec u_r$

La dirección es la recta que une el punto en el que se quiere calcular y la masa que genera el campo.
El sentido es siempre es hacia la masa que genera el campo.
Las unidades en las que se mide el campo son $m/s^2$ ó $N/kg$ .

El valor del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra tiene un valor aproximado de $g=9'8 N/kg$ .

Ejercicio típico de campo gravitatorio.

Una masa puntual $m_1 = 5 kg$ está situada en el punto $(4, 3) m$ . Determine la intensidad del campo creado por la masa $m_1$ en el origen de coordenadas.

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$ .

Solución

¡¡¡NO HAGAS TRAMPASS!!! Mira la solución después de haberlo intentado tú sol@.

Quieres obtener la intensidad de campo gravitatorio, es decir, el módulo, generada por una masa a una distancia. Lo primero que tienes que hacer es obtener la distancia entre la masa y el punto en el que queremos calcular la intensidad. Para ello utilizo la fórmula de la distancia entre dos puntos.

$r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5m$

Una vez que tienes la distancia, ya tienes todos los datos necesarios para hallar el módulo:

$g=\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}\cdot 5kg}{5^2m^2}=1'34\cdot 10^{-11} N/kg$

Campo gravitatorio y la fuerza gravitatoria.

El campo gravitatorio se puede relacionar con la fuerza gravitatoria.

Tanto el campo como la fuerza tienen la misma dirección y sentido. El módulo del campo es $g=\dfrac{GM}{r^2}$ y el módulo de la fuerza es $F=\dfrac{GMm}{r^2}$ . Rápidamente puedes ver que al campo gravitatorio tendríamos que multiplicarlo por $m$ para que fuera lo mismo que la fuerza gravitatoria. De esta observación se saca esta relación:

$\vec F_g=m\vec g$

La segunda ley de Newton dice que la fuerza es masa por aceleración, por lo que podemos decir que $m\vec a=m\vec g$ . Si quitamos las masas nos queda que:

$\vec a=\vec g$

La gravedad es la aceleración con la que un cuerpo se ve atraído por otro.

Problema típico de campo gravitatorio y fuerza gravitatoria.

Se tiene un planeta de masa $1'95\cdot 10^{25} kg$ y radio $5500 km$ . Determine:

a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

b) La fuerza gravitatoria que experimenta un cuerpo de $60kg$ en este planeta.

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$ .

Solución

¡¡¡NO HAGAS TRAMPASS!!! Mira la solución después de haberlo intentado tú sol@.

a) Para obtener el módulo de la aceleración de la gravedad tienes que utilizar la fórmula del módulo del campo:

$g=\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}\cdot 1'95\cdot 10^{25} kg}{5500000^2m^2}=43N/kg$

b) Para calcular la fuerza gravitatoria sobre una masa de $60kg$ lo único que tienes que hacer es multiplicarla por la gravedad:

$F_g=m\cdot g=60kg\cdot 43N/kg=2580N$

¿Cómo dibujamos el vector campo gravitatorio? Líneas de campo.

Ya hemos visto qué dirección y sentido tiene el vector campo gravitatorio. Las líneas de campo son líneas en las que el vector campo es tangente a la trayectoria y nos ayudan a ver el campo de una forma más amplia. Los vectores tangentes a estas líneas tienen un sentido hacia las masas que generas estas líneas. El módulo del campo gravitatorio viene dado por la densidad de líneas de campo que existen. Cuanto mayor es la masa mayor número de líneas de campo.

Principio de superposición de la fuerza y el campo gravitatorio.

Cuando se trata de fuerza y campo gravitatorio y hay dos o más masas podemos decir que tanto la fuerza total como el campo total es la suma de las fuerzas o los campos por separado.

$\vec F_T=\sum \vec F_i=\vec F_1+\vec F_2+...$

$\vec g_T=\sum \vec g_i=\vec g_1+\vec g_2+…$

Ejercicio básico de principio de superposición.

Una masa puntual $m_1 = 5 kg$ está situada en el punto $(5, 0) m$ . Si ponemos una masa $m_2=0'5kg$ en el origen de coordenadas, ¿a qué distancia del origen de coordenadas, el campo resultante es nulo?

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$ .

Solución

En este tipo de ejercicios tenemos que aplicar el principio de superposición. Tenemos dos masas, por lo que, según el principio de superposición, el campo en un punto será la suma de los campos generados por cada una de las masas en ese punto.

Para verlo mejor debes dibujar las masas, sabiendo que la distancia entre ellas son $5m$ y que el campo será cero en algún punto de la línea que une estas masas. Hay que llamar $x$ a la distancia entre el punto en el que el campo es cero y una de las masas (yo he cogido la distancia a $m_1$ ), por lo que la distancia a la otra masa será $5-x$ . Esta distancia la obtenemos pensando que si la distancia entre las dos masas es cinco y la distancia a $m_1$ es $x$ lo que queda hasta la $m_2$ será $5-x$ .

Si el campo tiene que ser cero los módulos de los campos tienen que ser iguales, por lo que igualamos los módulos:

$g_1=g_2$

$\dfrac{Gm_1}{x^2}=\dfrac{Gm_2}{(5-x)^2}$

$\dfrac{5}{x^2}=\dfrac{0'5}{(5-x)^2}\rightarrow 5(5-x)^2=0'5x^2$

$5(25-10x+x^2)=0'5x^2\rightarrow4'5x^2-50x+125=0$

Las soluciones a esta ecuación son:

$x_1=7'31m, x_2=3'79m$

Esta ecuación tiene dos soluciones, pero el problema no tiene dos soluciones, ya que, al ser la gravedad siempre atractiva, la solución $x_1$ no es válida. Esto es porque si dibujamos los dos campos en el punto $(7'31,0)$ los dos campos no se anulan, sino que se suman.

Así podemos concluir que en el punto $(3'79, 0)$ el campo es cero.

Ejercicio avanzado de principio de superposición.

Tres masas $m_1=5kg$ , $m_2=10kg$ y $m_3=15kg$ están situadas respectivamente en los puntos $P_1(2,1)$ , $P_2(2,2)$ y $P_3(-1,0)$ . Determina el campo gravitatorio creado por las masas en el punto $P(-1,-2)$ .

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6'67\cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$ .

Solución

En este tipo de problemas tenemos que utilizar vectores directores ( $\vec u_r$ ). Lo primero es hacer un esquema con los campos que se generan y calcular los vectores directores: