Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Bienvenido al estudio de los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Aquí vamos a desarrollar un método para resolver este tipo de inecuaciones y ver como se aplica en unos cuantos ejemplos resueltos.

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Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de condiciones que tienen que cumplirse simultáneamente, es decir, a la vez. Estas condiciones son inecuaciones lineales con dos incógnitas y puede haber tantas como se necesite.

Tal y como hemos visto en las inecuaciones lineales con dos incógnitas, una inecuación de este tipo representa una región del plano. Esto quiere decir que un sistema del inecuaciones puede también representarse como una región de un plano.

Los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas pueden tener tres tipos de soluciones:

Una región del plano.
Un único punto del plano.
No tener solución.

Una vez que tenemos claros todos estos conceptos podemos empezar con el método de resolución de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Método de resolución de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Para resolver los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas tenemos que seguir los siguientes pasos.

1. Dibujar las regiones solución del plano de cada una de las inecuaciones en la misma gráfica utilizando el método de resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Es muy recomendable (incluso obligatorio) que se nombren cada una de las rectas que se forman para saber cuales son y no liarse.

2. Una vez dibujadas las soluciones de cada inecuación, la solución será la región en la que coincidan todas juntas.

Ejemplo:

$\left\{\begin{matrix}y\leq2\\x-y\leq0\\x+2y\geq3\\x>0\end{matrix}\right.$

El primer paso es representar cada una de las soluciones de las inecuaciones. Para lograr hacer esto con orden voy a ponerles nombre a cada una para saber cuales son una vez que las hallamos representado.

$\left\{\begin{matrix}y\leq2&&A\\x-y\leq0&&B\\x+2y\geq3&&C\\x\geq0&&D\end{matrix}\right.$

Primera inecuación.

Empecemos por la inecuación A.

Primero convertimos la inecuación en ecuación sustituyendo la desigualdad por un igual y despejamos una de las incógnitas para poder hacer la tabla de valores.

$y\leq2\longrightarrow{y}=2$

Hacemos la tabla de valores y representamos los puntos obtenidos. Después de esto unimos los puntos para dibujar la recta $y=2$ .

x	y
0	2
1	2

Tabla utilizada para obtener los puntos para representar la recta.

Si $x=0\longrightarrow y=2\text{ }$ porque no hay x en la expresión.

Si $x=1\longrightarrow y=2\text{ }$ porque no hay x en la expresión.

Cogemos el punto (0, 0) para obtener la región del plano solución de esta inecuación.

$y\leq2\longrightarrow{0}\leq^?2$

Segunda inecuación.

Hacemos lo mismo para la inecuación B. Se representa en el mismo dibujo que la anterior.

Primero convertimos la inecuación en ecuación sustituyendo la desigualdad por un igual y despejamos una de las incógnitas para poder hacer la tabla de valores.

$x-y\leq0\longrightarrow{x}-y=0\longrightarrow{x}=y$

Hacemos la tabla de valores y representamos los puntos obtenidos. Después de esto unimos los puntos para dibujar la recta $x-y=0$ .

x	y
1	1
4	4

Tabla utilizada para obtener los puntos para representar la recta.

Si $x=1\longrightarrow y=1$

Si $x=4\longrightarrow y=4$

En este caso, como nuestra recta pasa por el punto (0,0), tendremos que seleccionar otro punto. Yo voy a coger el (1,0).

$x-y\leq0\longrightarrow1-0\leq^?0$

Tercera inecuación.

Hacemos lo mismo para la inecuación C. Se representa en el mismo dibujo que la anterior.

Primero convertimos la inecuación en ecuación sustituyendo la desigualdad por un igual y despejamos una de las incógnitas para poder hacer la tabla de valores.

$x+2y\geq3\longrightarrow{x}+2y=3\longrightarrow{x}=3-2y$

Hacemos la tabla de valores y representamos los puntos obtenidos. Después de esto unimos los puntos para dibujar la recta $x+2y=3$ .

x	y
1	1
-3	3

Tabla utilizada para obtener los puntos para representar la recta.

Si $y=1\longrightarrow x=1$

Si $y=3\longrightarrow x=-3$

Cogemos el punto (0, 0) para obtener la región del plano solución de esta inecuación.

$x+2y\geq3\longrightarrow0-2\cdot0\geq^?3$

Cuarta inecuación.

Hacemos lo mismo para la inecuación D. Se representa en el mismo dibujo que la anterior.

Primero convertimos la inecuación en ecuación sustituyendo la desigualdad por un igual y despejamos una de las incógnitas para poder hacer la tabla de valores.

$x\geq0\longrightarrow{x}=0$