Campo magnético. Apuntes 2º Bach, EvAU y Selectividad.

Tras atravesar el estudio de los campos gravitatorio y eléctrico, el campo magnético deja mucho que desear. Este campo es hermano del campo eléctrico, pero no por sus fórmulas, tal y como pasaba con los campos eléctrico y gravitatorio, sino por su concepto. Hay que ver primero que es el campo magnético y que es lo que lo produce para ver cuál es la relación entre el campo eléctrico y este nuevo campo que parece sacado de los libros de magia de Harry Potter.

Los puntos que vamos a tratar en este tema son los siguientes:

Campo magnético generado por un hilo por el que pasa una corriente.

Uso de la regla de la mano derecha en campo magnético.

Principio de superposición del campo magnético.

Ejercicios resueltos.

Campo magnético.

Como ya vimos en la introducción, el campo magnético se genera cuando existe una carga en movimiento, por lo que los campos eléctrico y magnético son el análisis de una misma situación desde dos puntos de vista diferentes. En uno consideramos las cargas con velocidad nula (campo eléctrico) y en otro las consideramos en movimiento constante (campo magnético). Es importante saber que el campo magnético NO es conservativo, por lo que no existe energía potencial magnética. La unidad del campo magnético es el tesla [T].

Hilo por el que pasa una corriente. Ley de Biot Savart.

Tras la experiencia de Oersted, el campo magnético que genera un hilo por el que pasa una corriente se desarrolló hasta obtener un vector campo. Este vector tiene:

Módulo. El módulo del campo que genera un hilo por el que circula una corriente I a una distancia del hilo r viene dado por la siguiente expresión.

$B=\dfrac{\mu_o I}{2\pi r}$

Donde $\mu_o=4\pi\cdot10^{-7} N/A^2$

Dirección. El vector campo magnético es tangente a una circunferencia dibujada en el plano perpendicular al hilo, con centro en el hilo y de radio igual a la distancia a la que queremos calcularlo.

Sentido. Se utiliza la regla de la mano derecha para definir el sentido del campo magnético.

¿Cómo utilizar la regla de la mano derecha correctamente para obtener el sentido del campo magnético creado por un hilo?

Explicación de la regla de la mano derecha para el campo magnético.

La regla de la mano derecha es un método para obtener el sentido de un vector. Para aplicar la regla de la mano derecha en este caso, se coloca el pulgar (dedo gordo) de la mano derecha señalando en la dirección de la intensidad que atraviesa el hilo. Una vez que hemos colocar el pulgar, cerramos la mano para obtener el sentido del campo. El sentido del campo es el sentido en el que cerramos nuestra mano derecha.

Para calcular el campo y la fuerza magnética es más útil emplear una forma característica para representar los vectores en tres dimensiones. En lugar de realizar unos ejes en el papel que simulen tener tres dimensiones se aplica lo siguiente. Se dibuja un plano, el XY, XZ o YZ (el que nos sea más conveniente) y para representar los vectores que saldrían y entrarían en estos planos, es decir, los que irían hacia dentro y hacia fuera del papel, se representan con una x o un punto.

Los vectores son flechas, por lo que si el vector que queremos representar fuera hacia dentro del papel, le veríamos desde atrás, por lo que veríamos un aspa, es decir, una x. Por otro lado si el vector fuera hacia fuera del papel, lo que veríamos sería la punta de la flecha, es decir, un punto.

Representación de vectores de tres dimensiones en su forma habitual.

Representación de vectores para el campo magnético.

El vector c se representa como un círculo con un punto, dado que al tener como dirección «hacia fuera del papel» vemos la punta de la flecha.

El vector c se representa como un círculo con x, dado que al tener como dirección «hacia dentro del papel» vemos un aspa.

Principio de superposición para el campo magnético.

Para obtener el campo magnético creado por distintos elementos se aplica el principio de superposición.

El campo total es la suma de los campos magnéticos individuales.

$\vec{B_T}=\vec{B_1}+\vec{B_2}+\vec{B_3}...$

Ejercicios resueltos.

Ejercicio resuelto de campo magnético creado por un hilo (nivel fácil).

Por un hilo conductor rectilíneo que pasa por el punto (0, 0, 0), situado a lo largo del eje X, circula una corriente eléctrica de intensidad 10A en el sentido negativo del eje (coordenadas expresadas en metros). Calcule el vector campo magnético debido al hilo en el punto P (0, 5, 0).

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_o = 4\pi\cdot10^{-7} N\cdot A^{-2}$ .

Solución

Lo primero, como siempre en Física, dibujamos el problema con los datos que nos da el ejercicio.

Una vez que tenemos representados los datos en el dibujo se puede comenzar a calcular la dirección y el sentido del vector campo magnético en el punto (0, 5, 0). Tal y como hemos visto en la teoría, el vector campo va a ser tangente a una circunferencia que tiene su centro en el hilo y pasa por el punto en el que se quiere obtener el vector. El sentido, se obtendría con la regla de la mano derecha.

En nuestro caso, tal y como se puede ver en la imagen de arriba, el campo magnético nos queda en el sentido negativo del eje Z, por lo que su dirección será $-\vec{k}$ .

Para obtener el módulo se sustituyen los datos en la ley de Biot Savart.

$B=\dfrac{\mu_oI}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7} N\cdot A^{-2}\cdot10A}{2\pi\cdot5m}=4\cdot10^{-7}T$

Todo esto hace que el resultado sea: $\vec{B}=- 4\cdot10^{-7}\vec{k}T$

Ejercicio resuelto de campo magnético (nivel medio).

Se tienen dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z que cortan al plano XY en los puntos O(0, 0, 0) y A(2, 2, 0) expresados en centímetros. Por cada cable circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje z. Calcule el vector campo magnético en el punto P(0, 2, 0) y en el punto Q(1, 1, 0) con sus coordenadas expresadas en centímetros.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_o = 4\pi\cdot10^{-7} N\cdot A^{-2}$ .

Solución

Lo primero, como siempre en Física, dibujamos el problema con los datos que nos da el ejercicio. En este caso voy a utilizar la representación de vectores con puntos y flechas que he explicado arriba en la teoría. Para realizar este esquema presupongo que el sentido positivo del eje z sale hacia fuera del papel, por lo que las intensidades las represento con puntos.

Campo en el punto (0, 2, 0).

Para obtener el vector campo en el punto (0, 2, 0) dibujamos dos circunferencias. Una con centro en el primer hilo y la otra con centro en el segundo. Después de esto aplicamos la regla de la mano derecha en cada uno de los hilos para obtener los sentidos para cada uno de los hilos. En este caso el sentido que nos da la regla de la mano derecha es el antihorario.

Tal y como se puede ver en la imagen el vector B₁ va a tener dirección y sentido $-\vec{i}$ y el vector B₂ va a tener $-\vec{j}$ .

Después de obtener dirección y sentido calculamos los módulos. En nuestro caso el módulo de los vectores campo va a ser el mismo, ya que la intensidad de los dos hilos y la distancia de los hilos al punto en el que queremos calcular este módulo es la misma.

$B_1=B_2=\dfrac{\mu_oI}{2\pi{r}}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}N\cdot A^{-2} 5A}{2\pi0'02m}=5\cdot10^{-5}T$

Aplicando el principio de superposición podemos obtener el campo total en el punto (0, 2, 0).

$\vec{B_T}=\vec{B_1}+\vec{B_2}=-5\cdot10^{-5}\vec{i}-5\cdot10^{-5}\vec{j}$

Campo en el punto (1, 1, 0).

Para calcular el vector campo en el punto (1, 1, 0) se siguen los mismo pasos.

Se dibujan las circunferencias concéntricas pero que pasen por el punto (1, 1, 0) para obtener la dirección y el sentido del campo que produce cada hilo en ese punto.

Campo magnético con 2 hilos en el punto (1, 1, 0)

Tal y como se puede ver en la imagen los vectores campo generados por cada hilo tienen sentidos opuestos. Su módulo, al igual que para el otro punto, es el mismo porque las intensidades y las distancias son las mismas, por lo que en este caso el campo será cero debido al principio de superposición.

$\vec{B_T}=0$

Ejercicio resuelto de campo magnético (nivel difícil).

Cuatro conductores muy largos y paralelos transportan intensidades de corriente iguales, de valor 5 A. La disposición de los conductores y sus sentidos de circulación de la corriente vienen indicados en la figura (A y B, con cruces, conducen la corriente hacia dentro del papel mientras que C y D, con puntos, lo hacen hacia fuera). El lado del cuadrado mide 0,2 m. Calcule el vector campo magnético producido por los cuatro conductores en el centro del cuadrado.

Imagen del problema. Cuadrado con hilos en sus vértices.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_o = 4\pi\cdot10^{-7} N\cdot A^{-2}$ .

Solución

En este ejercicio nos hacen el gran favor de darnos el dibujo, por lo que vamos a aprovecharnos de ello y vamos a obtener las direcciones y los sentidos de los vectores generados por los cuatro hilos en el centro.

Calculo de las direcciones y sentidos de cada campo magnético creado por cada hilo.

En la imagen podemos ver como los vectores campo forman 45º con la horizontal. Si se observa más detenidamente se puede ver como las componentes del eje x se van a anular, por lo que la dirección del vector campo total va a ser la suma de las componentes verticales.

Después de calcular la dirección y el sentido de cada vector se calculan los módulos. Antes de calcular los módulos debemos obtener la distancia existente entre los hilos y el punto P. En la imagen se puede ver que esta distancia es la misma para todos los hilos. Para calcular esta distancia vamos a utilizar el teorema de Pitágoras cómo se ve abajo en la imagen.

$r=\sqrt{0,1^2+0,1^2}=\dfrac{\sqrt2}{10}$

Para calcular los módulos podemos tener en cuenta que las distancias y las intensidades son las mismas, por lo que los módulos serán del mismo valor.

$B_A=B_B=B_C=B_D=\dfrac{\mu_o I}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7} N\cdot A^{-2} 5A}{2\pi\sqrt2/10m}=7'07\cdot10^{-6}T$

Hemos visto como el vector total iba a ser la suma de las componentes verticales y que el módulo de todos los vectores tiene el mismo valor, por lo que aplicando el principio de superposición, se obtiene que el vector campo es negativo y cuatro veces la componente vertical de uno de ellos.

$\vec{B_T}=\vec{B_A}+\vec{B_B}+\vec{B_C}+\vec{B_D}=-4\cdot B\cos 45º \vec{j}T$