Teorema de Gauss para el campo eléctrico.

El teorema o ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell que relacionan le electrostática con el magnetismo.

A partir de esta ley se puede obtener la ley de Coulomb si se utiliza para una carga puntual.

El flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la división entre la carga total que encierra esta superficie en su interior y la constante dieléctrica en el vacío.

$\Phi=\oint_S\vec E\bullet\vec{dS}=\dfrac{Q_{interior}}{\epsilon_o}$

¿Para que sirve el teorema de Gauss para el campo eléctrico?

El teorema o ley de Gauss se utiliza para obtener el módulo del campo eléctrico creado a partir de distribuciones simétricas de carga.

A continuación se presenta la obtención del campo eléctrico para las distribuciones simétricas más comunes (las que entran en la EvAU).

Aplicaciones del teorema de Gauss.

Para obtener el campo eléctrico mediante el teorema de Gauss se siguen los siguientes pasos:

Se busca una superficie imaginaria (esfera o cilindro) que se ajuste a la simetría de la distribución de cargas que genera el campo y que tiene que contener el punto en el que queremos calcular el campo. Esta superficie es denominada como superficie gaussiana.
Para obtener la integral del campo por el diferencial de superficie se obtiene el número de integrales necesarias. En el caso de utilizar un cilindro hay tres integrales: las dos tapas y el lateral; mientras que en la esfera es una sola.
Se obtiene el ángulo que forma cada vector superficie con el campo.
Se despeja el campo de la integral.

Densidades de carga.

Antes de desarrollar las expresiones para las distintas distribuciones de carga hay que saber que:

La densidad lineal de carga ( $\lambda)$ se define como la carga por unidad de longitud que existe en un hilo de longitud $l$ .

$\lambda=\dfrac{Q}{l}$

La densidad superficial de carga ( $\sigma$ ) se define como la carga por unidad de superficie que existe en una superficie $S$ .

$\sigma=\dfrac{Q}{S}$

La densidad volumétrica de carga ( $\rho$ )se define como la carga por unidad de volumen que existe en un volumen $V$

$\rho=\dfrac{Q}{V}$

Campo eléctrico debido a un hilo conductor.

Para obtener la expresión que determina el valor del módulo del campo eléctrico a una distancia r de un hilo conductor cargado con una densidad lineal de carga $\lambda$ se selecciona un cilindro como superficie gaussiana que tiene como radio de la circunferencia de la base la distancia a la que se quiere obtener el valor del campo.

Una vez que se ha seleccionado la superficie gaussiana se analizan los vectores superficie y campo. Tal y como se menciona en los pasos a seguir para utilizar la ley de Gauss un cilindro produce tres integrales.

$\oint{E}\bullet{d}\vec{S}=\oint_{TS}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{TI}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{LAT}\vec{E}\bullet{d}\vec S$

En donde $\oint_{\text{TS}}$ es la integral de la tapa superior, $\oint_{\text{TI}}$ es la integral de la tapa inferior y $\oint_{LAT}$ es la integral de la zona lateral.

Aplicando la ley de Gauss queda:

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=\oint_{TS}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{TI}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{LAT}\vec{E}\bullet d\vec S$

El campo es constante, por lo que sale fuera de la integral y se integra $d\vec S$ .

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=\vec{E}\bullet\vec{S_{TS}}+\vec{E}\bullet\vec{S_{TI}}+\vec{E}\bullet\vec{S_{LAT}}$

Tras resolver la integral se observa el ángulo que forman el campo eléctrico y el diferencial de superficie. En el caso de las tapas el ángulo que forman los vectores es de 90º, por lo que su coseno es cero y en el caso de la zona lateral forman 0º, por lo que el coseno será 1.

Teorema de Gauss para un hilo conductor.

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=E{\cdot}S_{LAT}\cdot\cos0=E\cdot{S_{LAT}}$

La superficie lateral es un cuadrado de base la longitud de la circunferencia de la base del cilindro y de altura la longitud del hilo.

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=E\cdot2\pi\cdot{r}\cdot l$

Como la longitud del hilo es infinita se debe se escribe con la densidad lineal de carga.

$\dfrac{Q_T}{l}\dfrac{1}{\epsilon_o}=E\cdot2\pi\cdot{r}$

Se despeja el campo y se llega a la siguiente ecuación:

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi{\epsilon_o}r}$

El campo eléctrico que genera un hilo infinito tiene dirección perpendicular al hilo y su sentido es repulsivo si la densidad de carga es positiva y atractivo si es negativa.

Ejercicio de ejemplo.

Un hilo de longitud infinita cargado negativamente con una densidad lineal de carga $-3\mu C/m$ está situado sobre el eje x. Deduzca el valor del campo eléctrico a una distancia de $3cm$ del hilo.

Dato: permitividad eléctrica en el vacío $\epsilon_o=\dfrac{1}{4\pi{k}}=8'85\cdot{10^{-12}}C^2/(Nm^2)$

Solución

En este ejercicio se pregunta por el campo generado por un hilo infinito por lo que se debe desarrolar el teorema de Gauss para un hilo infinito.

$\oint{E}\bullet{d}\vec{S}=\oint_{TS}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{TI}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{LAT}\vec{E}\bullet{d}\vec S$

Aplicando la ley de Gauss queda:

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=\oint_{TS}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{TI}\vec{E}\bullet{d}\vec{S}+\oint_{LAT}\vec{E}\bullet d\vec S$

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=E{\cdot}S_{LAT}\cdot\cos0=E\cdot{S_{LAT}}$

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=E\cdot2\pi\cdot{r}\cdot l$

$\dfrac{Q_T}{l}\dfrac{1}{\epsilon_o}=E\cdot2\pi\cdot{r}$

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi{\epsilon_o}r}$

Tras desarrollar la expresión del campo eléctrico sustituimos para obtener el módulo del campo eléctrico.

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi{\epsilon_o}r}=\dfrac{3\cdot10^{-6} C/m}{2\pi{8'85}\cdot{10^{-12}}C^2/(Nm^2)\cdot{0'03m}}=1'8\cdot10^{6}N/C$

Si se quisiera obtener el valor del campo eléctrico solo hay que analizar el vector campo. El vector campo tiene una dirección perpendicular al hilo y su sentido es atractivo al tener una densidad lineal de carga negativa.

Campo eléctrico debido a un plano infinito.

Para obtener la expresión con la que obtener el valor de la intensidad del campo eléctrico a una distancia r de un plano infinito cargado con una densidad de carga $\sigma$ se selecciona un cilindro que atraviese el plano.

Una vez que se ha seleccionado la superficie gaussiana se analizan los vectores superficie y campo. En este caso vuelve a haber tres integrales pero solo se utilizan las de las tapas, dado que la de la zona lateral del cilindro se anula por el ángulo de 90º que forman los vectores.

$\oint E\bullet d\vec S=2\oint_{\text{T}}\vec E\bullet d\vec S$

Una vez analizado esto se aplica la ley de Gauss.

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=2\oint_{\text{T}}\vec E\bullet d\vec S$

Tras esto se integra. El campo en este caso es constante, por lo que se saca fuera de la integral y se resuelve lo que queda.

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=2\vec E\bullet\vec S$

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=2E\cdot S\cdot\cos0=E\cdot S$

Se despeja el campo eléctrico y se sustituye $Q_T/S$ por la densidad superficial de carga $\sigma$ .

$\dfrac{Q_T}{S}\dfrac{1}{2\epsilon_o}=E$

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_o}$

El campo eléctrico que genera un plano infinito no depende de la distancia a la que se enecuentre la carga, su dirección es perpendicular al plano y su sentido es repulsivo si la densidad superficial de carga es positiva y atractivo si es negativa.

Ejercicio de ejemplo.

Dado un plano, que puede considerarse infinito, cargado con una densidad superficial de carga $\sigma= 1 \mu C cm^{-2}$ . Determine el campo eléctrico $\vec E$ a uno y otro lado del plano, a una distancia $d = 5 cm$ del mismo.

Dato: permitividad eléctrica en el vacío $\epsilon_o=\dfrac{1}{4\pi{k}}=8'85\cdot{10^{-12}}C^2/(Nm^2)$

Solución

En este ejercicio se pregunta por el campo generado por un plano infinito por lo que se debe desarrolar el teorema de Gauss para un plano infinito.

$\oint E\bullet d\vec S=2\oint_{\text{T}}\vec E\bullet d\vec S$

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=2\oint_{\text{T}}\vec E\bullet d\vec S$

$\dfrac{Q_T}{\epsilon_o}=2E\cdot S\cdot\cos0=2E\cdot S$

$\dfrac{Q_T}{S}\dfrac{1}{2\epsilon_o}=E$

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_o}$

Tras obtener esta expresión se sustituyen los valores del enunciado.

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_o}=\dfrac{1\cdot10^{-10} C /m^{2}}{2\cdot8'85\cdot{10^{-12}}C^2/(Nm^2)}=5'65N/C$

Es importante que en la expresión de arriba escribas la densidad superficial de carga en C/m². La cifra que hay en el numerador (parte de arriba del numerador es el resultado de cambiar las unidades)

El campo eléctrico generado por un plano infinito no depende de la distancia a la que se encuentre el pinto en el que se quiere obtener el campo, por lo que el campo tendrá el mismo módulo y dirección pero sentido contrario a ambos lados del plano.

Campo eléctrico en el interior de un condensador.

Un condensador es un dispositivo eléctrico en el que el campo en su interior es constante. Este dispositivo está formado por dos planos considerados infinitos paralelos con densidades superficiales de carga de signo opuesto (normalmente el valor es el mismo).

Suponiendo que el valor de las densidades de carga es el mismo se puede llegar a obtener la expresión del valor del campo eléctrico en su interior sumando los campoe generados por cada plano.

$E_T=E_1+E_2=\dfrac{\sigma_1}{2\epsilon_o}+\dfrac{\sigma_2}{2\epsilon_o}$

$E=\dfrac{\sigma_1+\sigma_2}{2\epsilon_o}$

En el caso de ser la misma densidad de carga:

$E=\dfrac{2\sigma}{2\epsilon_o}$

$E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_o}$

Campo eléctrico debido a una corteza esférica conductora.

Para obtener la expresión del campo para una corteza esférica conductora es necesario contemplar dos escenarios:

La distancia a la que se quiere calcular el campo ( $r$ ) es menor que el radio de la corteza esférica ( $R$ ). Se quiere calcular el campo en el interior.
La distancia a la que se quiere calcular el campo ( $r$ ) es mayor que el radio de la corteza esférica ( $R$ ). Se quiere calcular el campo en el exterior.

Campo en el interior de la corteza esférica.

Si se quiere calcular el campo en el interior de la esfera el procedimiento para calcularlo es simple. Si se piensa en la ley de Gauss se tiene:

$\oint{\vec{E}\bullet{d}\vec{S}}=\dfrac{Q_{interior}}{\epsilon_o}$

Por lo tanto, si la carga que encierra la superficie gaussiana es cero, el campo será también nulo.

El campo eléctrico en el interior de una corteza esférica es nulo. $E=0$

Campo en el exterior de la corteza esférica.

Si, por el contrario, se quiere calcular el campo eléctrico en el exterior de la corteza con carga $Q$ la superficie gaussiana encierra toda la carga y los vectores campo eléctrico y diferencial de superficie son paralelos siempre. Aplicando la ley de Gauss se tiene:

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=\oint \vec E\bullet d\vec S$

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=\vec E\cdot d\vec S$

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=\vec E\cdot d\vec S=E\cdot S$

La superficie de una esfera es $S=4\pi r^2$ , por lo que ustituyendo y despejando el campo queda:

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=E\cdot 4\pi r^2$

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_o}\dfrac{Q}{r^2}=k\dfrac{Q}{r^2}$

Esta expresión es exactamente igual que la expresión del campo con la ley de Coulomb, por lo que la corteza esféfica se comporta como una carga puntual.

Ejercicio de ejemplo.

Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente en ella. Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado a una distancia 2R del centro de dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss.

Solución

En este ejercicio se pregunta por el campo a una distancia 2generado por una corteza esférica conductora por lo que se debe desarrollar el teorema de Gauss para un punto exterior de una corteza esférica.

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=\oint \vec E\bullet d\vec S$

$\dfrac{Q}{\epsilon_o}=E\cdot S$

$E=k\dfrac{Q}{R^2}$

Una vez que se ha obtenido la expresión de sustituyen los datos para obtener el valor del campo.

$E=k\dfrac{Q}{(2R)^2}=k\dfrac{Q}{4R^2}$

Campo eléctrico debido a una esfera maciza conductora.

Cuando se tiene una esfera maciza cargada con una densidad volumétrica $\rho$ el procedimiento es similar al seguido para una corteza esférica. Existen dos casos:

La distancia a la que se quiere calcular el campo ( $r$ ) es menor que el radio de la esfera ( $R$ ). Se quiere calcular el campo en el interior.
La distancia a la que se quiere calcular el campo ( $r$ ) es mayor que el radio de la esfera ( $R$ ). Se quiere calcular el campo en el exterior.

Campo en el interior de la esfera.

Para obtener la expresión de la intensidad del campo eléctrico en el interior de una esfera conductora se aplica el teorema de Gauss utilizando como superficie gaussiana otra esfera con un radio menor que el radio de la esfera maciza.

$\dfrac{Q_{interior}}{\epsilon_o}=\oint\vec E\bullet d\vec S=E\cdot S$

En este caso la carga que hay en el interior de la superficie gaussiana depende de la densidad volumétrica de carga. Para obtenerla se despeja la carga en la expresión de la densidad volumétrica. Es importante recordar que el volumen de una esfera es $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

$\rho=\dfrac{Q}{V}\longrightarrow Q=\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Tras esto susttuimos en la expresión anterior y se despeja el campo.

$\dfrac{\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_o}=E\cdot S$

$\dfrac{\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_o}=E\cdot 4\pi r^2$

$E=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_o}$

Campo en el exterior de la esfera.

El campo en el exterior de la esfera conductora es exactamente igual que en el exterior de una corteza esférica, dado que se sigue el mismo razonamiento.