Ley de Coulomb. Fuerza eléctrica y campo.

Antes de empezar a explicar la ley de Coulomb es necesario saber que este tema trata sobre los fenómenos que suceden considerando que las cargas están quietas en un punto del espacio. Estas cargas pueden positivas o negativas y su valor es un múltiplo del valor de la carga del electrón, ya que es la carga más pequeña que existe.

Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica.

A partir del siglo XVI se desarrollaron diversas investigaciones gracias a las que se descubrieron los fenómenos de la electricidad y el magnetismo. Estas investigaciones permitieron descubrir la forma en que interactuaban dos cargas en el espacio, dando lugar a la llamada ley de Coulomb.

La fuerza que ejerce una carga q sobre otra q’ es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Cargas del mimo signo se repelen y de distinto signo se atraen.

$F_e=k\dfrac{|q|\cdot |q'|}{r^2}$

El vector fuerza eléctrica desarrollado más tarde es este:

$\vec{F_e}=k\dfrac{q\cdot q'}{r^2}\vec {u_r}$

El módulo viene dado por la ley de Coulomb en su forma no vectorial y su valor el el producto de las masas por la constante de Coulomb K y dividido entre el cuadrado de la distancia que separa las cargas. $k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_o}=9\cdot10^9 Nm^2C^{-2}$

$F_e=k\dfrac{|q|\cdot |q'|}{r^2}$

La dirección de la fuerza eléctrica viene dada por el vector $\vec u_r$ que es un vector de módulo 1 que tiene como dirección la recta que une las cargas.
El sentido de la fuerza eléctrica se lo da el producto de los signos de las cargas. Si tienen el mismo signo la fuera es repulsiva, pero si tienen signo distinto es atractiva.

Al igual que en el campo gravitatorio, para la ley de Coulomb, se considera que las cargas son puntuales, es decir, que no tienen volumen y las cargas que generan el fenómeno que se quiere estudiar están quietas en un punto fijo. Esto significa que si una carga se mueve en un campo eléctrico creado por otras cargas no se analizará lo que ocurriría con las cargas que generan el campo, sino que se estudiará la carga que se mueve.

Ejercicio básico de fuerza eléctrica.

Dos cargas iguales de $2\eta C$ cada una están separadas $2cm$ . ¿Cuál es la fuerza que existe entre ellas? ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?

Dato: constante de Coulomb $k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_o}=9\cdot10^9 Nm^2C^{-2}$

Solución

Para calcular la fuerza que existe entre dos cargas se utiliza la ley de Coulomb.

$F_e=k\dfrac{q\cdot q'}{r^2}=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{2\cdot10^{-9}C\cdot2\cdot10^{-9}C}{(0'02m)^2}$

$F_e=9\cdot10^{-5}N$

Como las dos cargas son positivas la fuerza entre ellas es repulsiva.

Ley de coulomb para el campo eléctrico.

El campo eléctrico se define como la fuerza eléctrica que se ejercería sobre una partícula de carga $q'=1C$ .

Utilizando la ley de Coulomb podemos decir que el campo eléctrico es:

$\vec{E}=k\dfrac{q}{r^2}\vec {u_r}$

El módulo del campo eléctrico se calcula multiplicando la constante de Coulomb por el valor absoluto de la carga que genera el campo y dividiendo por el cuadrado de la distancia que separa la carga del punto en el que se quiere calcular dicho campo. En forma matemática de escribe:

$E=k\dfrac{q}{r^2}$

La dirección es la recta que une el punto en el que se quiere calcular y la carga que genera el campo.
El sentido es repulsivo si la carga que genera el campo es positiva y atractivo si es negativa.
Las unidades en las que se mide el campo eléctrico son $N/C$ .

Ejercicio de campo eléctrico.

Una carga $q=-3\eta C$ está situada en el punto $(1,-2)m$ . Calcula el vector campo eléctrico en el punto (2, 2)m.

Dato: constante de Coulomb $k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_o}=9\cdot10^9 Nm^2C^{-2}$

Solución

Para este tipo de ejercicios lo primero siempre es dibujar. Se dibuja el sistema de referencia y se señala con puntos la carga que genera el campo y el punto donde se quiere calcular el campo.

Una vez dibujado esto se dibuja el vector campo eléctrico (se representa con un vector de longitud aleatoria) para saber la dirección y sentido del vector. El vector campo eléctrico va a tener dirección la recta que une el punto en el que se quiere calcular el campo y el punto en el que está situada la carga. El sentido va a ser atractivo por ser una carga negativa.

Para calcular el vector campo primero se calcula el vector $\vec u_r$ que va a darle la dirección al campo. Para ello sacamos el vector $\vec r$ que es el resultado de restar el punto en el que se quiere calcular el campo al punto en el que está situada la carga.

$\vec{r}=(2,2)-(1,-2)=(1,4)$

Tras esto calculamos el módulo de este vector.

$r=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$

Para obtener $\vec u_r$ se divide el vector $r$ entre su módulo.

$\vec u_r=(\dfrac{1}{\sqrt{17}}, \dfrac{4}{\sqrt{17}})$

Una vez obtenido el vector director se calcula el vector campo eléctrico.

$\vec E=k\dfrac{q}{r^2}\vec u_r$

$\vec E=9\cdot10^9Nm^2C^{-2}\dfrac{-3\cdot10^{-9}C}{(\sqrt{17}m)^2}\cdot(\dfrac{1}{\sqrt{17}},\dfrac{4}{\sqrt{17}})$

Resolviendo el vector campo eléctrico queda:

$\vec{E}=(-0'39,-1'54)N/C$

Como puede verse el vector tiene las dos coordenadas negativas tal y como sucede con el vector dibujado antes, por lo que este vector es correcto.

Representación del campo eléctrico. Líneas de campo eléctrico.

Al igual que con el campo gravitatorio, las líneas de campo son líneas en las que el vector campo eléctrico es tangente a la trayectoria y nos ayudan a ver el campo de una forma más amplia. Sin embargo, en el caso del campo eléctrico las líneas de campo salen de las cargas positivas y entran en las negativas. La intensidad o módulo del campo eléctrico viene dado por la densidad de líneas de campo que existen. A mayor carga mayor número de líneas de campo.

Lineas de campo para una carga positiva — Salen de las cargas positivas.

Lineas de campo para una carga negativa — Entran en las cargas negativas.

Líneas de campo generadas entre dos cargas de distinto signo.

Principio de superposición para la fuerza eléctrica y el campo eléctrico.

Cuando se trata con varia cargas, la fuerza eléctrica y el campo eléctrico utilizan el principio de superposición para ser calculados.

La fuerza total ejercida por un conjunto de cargas sobre una sola carga es la suma de la fuerza que ejerce cada una sobre esta última.

$\vec F_T=\sum \vec F_i=\vec F_1+\vec F_2+...$

La campo total creado por un conjunto de cargas sobre un punto del espacio es la suma de los campos individuales creados por cada carga en ese punto.

$\vec E_T=\sum \vec E_i=\vec E_1+\vec E_2+…$

Ejercicio de aplicación del principio de superposición.

Dos cargas de $2\eta C$ se sitúan en los vértices de la base de un triángulo equilátero de lado 2cm que se encuentra situada sobre el eje de abscisas. El punto medio de la base está en el origen de coordenadas y el vértice superior en el semieje positivo de ordenadas. Determine el campo eléctrico creado por las cargas en el vértice libre.

Dato: constante de Coulomb $k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_o}=9\cdot10^9 Nm^2C^{-2}$

Solución

Lo primero que se tiene que hacer para resolver este tipo de ejercicios es dibujar el problema.

Una vez dibujado el ejercicio se se puede empezar a hacer cálculos.

En el dibujo se puede ver como las cargas están situadas en los puntos (-1, 0) y (1, 0). Para obtener el punto en el que se quiere calcular el campo utilizamos el teorema de pitágoras para conocer le altura del triángulo.

$2^2-1^2=h^2\longrightarrow h=\sqrt{3}cm$

Para este tipo de problemas se puede utilizar trigonometría o vectores directores.

Resolución con vectores directores.

Para obtener los dos vectores campo existentes se tienen que calcular los vectores directores primero.

$\vec u_{r1}=\dfrac{(0, \sqrt3\cdot10^{-2})-(-0'01, 0)}{0'02}=\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$

$\vec{u}_{r2}=\dfrac{(0, \sqrt3\cdot10^{-2})-(0'01,0)}{0'02}=\left(\dfrac{-1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$

Tras obtener los vectores directores se calculan los vectores campo eléctrico.

$\vec{E}_1=9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-9}C}{(0'02m)^2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}\right)=(22500, 38971'14)N/C$

$\vec{E}_2=9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-9}C}{(0'02m)^2}\cdot\left(\dfrac{-1}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=(-22500,38971'14)N/C$

Tras esto calculamos el campo total: $\vec{E}_T=\vec E_1+\vec{E}_2=(0,77942'29)N/C$

Resolución con trigonometría.

Lo primero que es necesario saber es que un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º. Esto hace que se puedan descomponer los campos con senos y cosenos.

Primero se calcula el módulo de los dos vectores. Como el valor de las cargas es el mismo, el módulo

$E_1=E_2=k\dfrac{q1}{r^2}=9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-9}C}{(0'02m)^2}=45000 N/C$

Después asignamos $\sin60$ al eje x y $\cos60$ al eje y para obtener los vectores campo eléctrico.

$\vec{E}_1=(E_1\cdot\cos60,E_1\cdot\sin60)N/C=(45000\cdot\cos60,45000\cdot\sin 60)N/C=(22500, 38971'14)N/C$

$\vec{E}_2=(-E_2\cdot\cos60,E_2\cdot\sin60)N/C=(45000\cdot\cos60,45000\cdot\sin 60)N/C=(-22500,38971'14)N/C$

Los signos de cada componente se asignan con el dibujo. Con todo esto se calcula el campo total:

$\vec{E}_T=\vec{E}_1+\vec E_2=(0, 77942'29)N/C$

Relación entre fuerza eléctrica y campo eléctrico mediante la ley de Coulomb.

El campo eléctrico se puede relacionar con la fuerza eléctrica a partir de la ley de Coulomb.

La fuerza eléctrica según la ley de Coulomb es:

$\vec{F_e}=k\dfrac{q\cdot q'}{r^2}\vec {u_r}$

El campo eléctrico según la ley de Coulomb es:

$\vec{E}=k\dfrac{q}{r^2}\vec {u_r}$

Si se observan la dos fórmulas se puede establecer la siguiente relación.

$\vec {F_e}=q'\cdot\vec E$

Ejercicio resuelto.

Teniendo en cuenta el ejercicio anterior obtén la fuerza que las cargas positivas ejercerían sobre una carga de $-2\eta C$ situada en el vértice libre del triángulo.

Solución

Se puede conocer la fuerza ejercida sobre una carga si se conoce el campo que existe en el punto en el que está colocada la carga mediante la siguiente ecuación:

$\vec F_e=q'\cdot\vec E$