Operaciones con matrices.

En el segundo punto de este tema vamos a hablar de las operaciones con matrices. Hay cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, producto de un número por una matriz y producto de matrices.

Suma y resta de matrices.

Para sumar dos matrices lo primero que tenemos que hacer es ver si tienen la misma dimensión, ya que si no tienen la misma dimensión no se pueden ni sumar ni restar.

Para sumar o restar dos matrices se suma número con número, es decir, que el elemento de la primera fila primera columna de la primera matriz se suma o resta con el de la primera fila primera columna de la segunda y así con todos. Se suman o restan uno a uno.

Ejemplo

$A=\begin{pmatrix} 1&3&3&1\\-2&3&1&0\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix} 2&2&-1&1\\-1&0&0&2\end{pmatrix}$

$A+B=\begin{pmatrix}1+2&3+2&3+(-1)&1+1\\-2+(-1)&3+0&1+0&0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5&2&2\\-3&3&1&2\end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix}1-2&3-2&3-(-1)&1-1\\-2-(-1)&3-0&1-0&0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1&4&0\\-1&3&1&-2\end{pmatrix}$

La suma de matrices sigue las mismas propiedades que la suma de números reales, por lo que es conmutativa, asociativa… Lo mismo pasa con la resta.

Producto de un número por una matriz.

Para multiplicar un número por una matriz simplemente se multiplica este número por todos y cada uno de los elementos de la matriz.

Ejemplo

$3\cdot A=3\cdot\begin{pmatrix}1&2&2\\0&1&-1\\3&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot1&3\cdot2&3\cdot2\\3\cdot0&3\cdot1&3\cdot(-1)\\3\cdot3&3\cdot(-1)&3\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6&6\\0&3&-3\\9&-3&0\end{pmatrix}$

Producto de matrices.

Lo primero que tenemos que saber a la hora de multiplicar dos matrices es si se pueden multiplicar, ya que no todas las matrices pueden. Para que una matriz de una dimensión m $\times$ n se pueda multiplicar por otra de dimensión p $\times$ q el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda. Esto quiere decir que una matriz de dimensión 3 $\times$ 4 se puede multiplicar por otra de 4 $\times$ 2 y que el producto de matrices no es conmutativo. La matriz resultado va a tener dimensión n $\times$ q.

$A\cdot B\neq B\cdot A$

Para multiplicar dos matrices nos vamos a tener que tatuar en el cerebro la frase «fila por columna». Para multiplicar dos matrices tenemos que multiplicar los elementos de la primera fila de la primera matriz por los elementos de la primera columna de la segunda matriz. Una vez que hemos hecho esto sumamos todo y obtendremos el resultado para la primera fila primera columna. Si realizamos este paso con todas las filas y columnas obtendremos el resultado.

Supongamos que tenemos estas matrices y las queremos multiplicar:

$A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\\-3&-1\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&2&-1\end{pmatrix}$

La matriz A tiene dimensión 3 $\times$ 2 y la matriz B 2 $\times$ 3, por lo que el producto A·B se podría hacer (el producto B·A también se puede hacer en este caso pero solo cojo el primero para explicarlo) y el resultado sería una matriz de 3 $\times$ 3.

Para empezar a multiplicarlas cogeríamos los elementos de la primera fila de la primera matriz y lo multiplicaríamos por lo de la primera columna de la segunda matriz. Esto iría sumado en el hueco de la primera fila primera columna.

$\begin{pmatrix} 1\cdot 1+(-1)\cdot 2&-&-\\-&-&-\\-&-&-\end{pmatrix}$

Seguimos operando con la primera fila de A y la segunda columna de B.

$\begin{pmatrix} 1\cdot 1+(-1)\cdot 2&1\cdot (-2)+-1\cdot 2&-\\-&-&-\\-&-&-\end{pmatrix}$

Tras esto operamos la primera fila de A con la columna que nos queda de B.

$\begin{pmatrix} 1\cdot 1+(-1)\cdot 2&1\cdot (-2)+(-1)\cdot 2&1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)\\-&-&-\\-&-&-\end{pmatrix}$

Terminamos haciendo el mismo proceso con la segunda fila de A y luego con la tercera.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 1+(-1)\cdot 2&1\cdot (-2)+(-1)\cdot 2&1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)\\0\cdot 1+2\cdot 2&0\cdot (-2)+2\cdot 2&0\cdot 0+2\cdot (-1)\\-3\cdot 1+(-1)\cdot 2&-3\cdot (-2)+(-1)\cdot 2&-3\cdot 0+(-1)\cdot (-1)\end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix}-1&-4&1\\4&4&-2\\-5&4&1\end{pmatrix}$

No te preocupes si esto no te sale a la primera. El producto de dos matrices es la más complicada de las operaciones con matrices, pero practicando estoy seguro que no tendrás ningún problema en el examen.

Potencia con matrices.

Cuando vemos una matriz elevada al cuadrado o al cubo el instinto nos dice que tenemos que elevar todos los elementos de esta matriz a lo que esté elevado. Esto es lo peor que puedes hacer. Para hallar una potencia de una matriz tienes que multiplicar la matriz por ella misma tantas veces como diga el exponente. Las potencias solo se pueden realizar con matrices cuadradas.

Ejemplo

$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&3&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$

$A^3=A^2 \cdot A=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&3&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1&0\\2&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

$A^3=\begin{pmatrix}0&0&-1\\6&-3&5\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Potencias sucesivas.

Cuando tenemos que calcular una matriz elevada a un número muy grande o nos piden que hallemos la enésima potencia de una matriz (esto quiere decir $A^n$ ) podemos obtener en estos casos un patrón de recurrencia. En este tipo de ejercicios vamos a tener que elevar la matriz al cuadrado, al cubo, a la cuarta, a la quinta… hasta que obtengamos un patrón que se repite.

Ejemplo

Halle la matriz $A^3$ y $A^n$ dada la matriz:

$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$

$A^2 =\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\cdot2\\0&1\end{pmatrix}$

$A^3=A^2 \cdot A=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\cdot3\\0&1\end{pmatrix}$

$A^4=A^3 \cdot A =\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&8\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\cdot4\\0&1\end{pmatrix}$

Siguiendo el patrón de $A$ $A^2$ $A^3$ $A^4$ puedes ver como todos los elementos de la matriz permanecen iguales menos el de la primera fila segunda columna. Este elemento es el resultado de multiplicar el exponente por dos, es decir, para $A^n$ es $2n$ .