Matriz adjunta y adjunto de un elemento.

Tras ver como calcular un determinante de orden dos y tres vamos a explicar que es el adjunto de un elemento y como calcular la matriz adjunta.

En los próximos temas vamos a ver la importancia de la matriz adjunta, y los adjuntos, dado que vamos a utilizarlos para calcular los determinantes de cualquier orden y la matriz inversa.

Adjunto de un elemento.

El adjunto del elemento de la fila i, columna j sería el determinante de la matriz que quedaría al eliminar la fila i y columna j, multiplicado por (-1)^{i+j} y se simboliza por: A_{ij}.

Caso matriz de 2×2.

Para la matriz:

    \[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]

El adjunto del elemento de la primera fila primera columna sería:

    \[A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot d=d\]

Los demás serían:

    \[A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot c=-c\]

    \[A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot b=-b\]

    \[A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot a=a\]

Ejemplo

Hallar los adjuntos de todos los elementos de esta matriz:

    \[A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\]

A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 1=1

A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot (-1)=1

A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot 1=-1

A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot 2=2

Caso matriz de 3×3.

Supongamos que tenemos la matriz:

    \[A=\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\]

En el caso del elemento de la segunda fila, primera columna sería:

    \[A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}\right|=-1\cdot(b\cdot i-c\cdot h)\]

El adjunto de la tercera fila segunda columna sería:

    \[A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}\right|=-1\cdot(a\cdot f-c\cdot f)\]

Ejemplo

Dada la matriz A, obtener los adjuntos de los siguientes elementos:

    \[A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\2&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\]

a) Primera fila primera columna:

A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{matrix}1&0\\0&-2\end{matrix}\right|=-2

b) Segunda fila segunda columna:

A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{matrix}3&1\\0&-2\end{matrix}\right|=-6

c) Tercera fila segunda columna:

A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{matrix}3&1\\2&0\end{matrix}\right|=2

Matriz adjunta.

La matriz adjunta es se simboliza como adj(A) y es la matriz que se genera sustituyendo los elementos de esta por sus adjuntos. Vamos es esto:

    \[adj(A)=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&\cdots&A_{2n}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&\cdots&A_{3n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&A_{n3}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\]

Caso matriz 2×2.

Para una matriz de 2×2 como esta:

    \[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]

La matriz adjunta es:

    \[adj(A)=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}\]

Ejemplo

Obtener la adjunta de:

A=\begin{pmatrix}4&3\\-1&-2\end{pmatrix}

adj(A)=\begin{pmatrix}-2&1\\-3&4\end{pmatrix}

Caso matriz 3×3.

Cuando tenemos una matriz de 3×3 como:

    \[A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\]

Su matriz adjunta sería:

    \[adj(A)=\begin{pmatrix}\left|\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}\right|\end{pmatrix}\]

Ejemplo

Obtener la adjunta de:

A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-2\\3&-1&0\end{pmatrix}

adj(A)=\begin{pmatrix}\left|\begin{matrix}0&-2\\-1&0\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}0&-2\\3&0\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}0&0\\3&-1\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}2&1\\-1&0\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&1\\3&0\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}2&1\\0&-2\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&1\\0&-2\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&2\\0&0\end{matrix}\right|\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-6&0\\-1&-3&7\\-4&2&0\end{pmatrix}

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